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Lexikon der Mathematik: Jordan-Zerlegung (eines Maßes)

Zerlegung eines endlichen signierten Maßes.

Es sei μ ein endliches signiertes Maß auf einer σ-Algebra \({\mathcal{A}}\) in einer Menge Ω, und Ω = Ω+ ∪ Ω die Hahn-Zerlegung (Hahnscher Zerlegungssatz).

Dann gilt für die Maße μ+ und μ, definiert durch \begin{eqnarray}{\mu }^{+}(A):=\mu (A\cup {\Omega }^{+})\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\mu }^{-}(A):=\mu (A\cup {\Omega }^{-})\end{eqnarray} für alle A ∈ \({\mathcal{A}}\), daß μ = μ+μ. Diese Zerlegung heißt Jordan-Zerlegung von μ und ist minimal in dem Sinn, daß, wenn μ = μ1μ2 eine beliebige Zerlegung von μ in zwei Maße μ1 und μ2 ist, stets μ+μ1 und μμ2 ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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