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Lexikon der Mathematik: Julia, Satz von

ist eine Verschärfung des großen Satzes von Picard und lautet:

Es sei z0 ∈ ℂ und f eine in \begin{eqnarray}{\dot{B}}_{R}({z}_{0})=\{z\in {\mathbb{C}}:0|z-{z}_{0}|\lt R\}\end{eqnarray}holomorphe Funktion, die an z0eine wesentliche Singularität besitzt.

Dann existiert ein t0 ∈ [0, 2π) derart, daß f in jedem Kreissektor \begin{eqnarray}\{{z}_{0}+r{e}^{it}:|t-{t}_{0}|\lt \varepsilon, 0\lt r\lt \varepsilon \},\end{eqnarray} 0 < ε < R jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.

Für jedes solche t0 heißt eit0 eine Julia-Richtung und der Strahl {z0 + reit0 : r > 0 } eine Julia-Linie von f. Als Folgerung erhält man:

Es sei f eine ganz transzendente Funktion. Dann existiert ein t0 ∈ [0, 2π) derart, daß f in jedem Winkelraum {reit : |tt0| < ε, r > 0}, ε > 0, jeden Wert a ∈ ℂ mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.

Auch in diesem Fall heißt eit0 eine Julia-Richtung und der Strahl {reit0 : r > 0} eine Julia-Linie von f. Einige Beispiele:

  1. f (z) = ez besitzt zwei Julia-Richtungen, nämlich e±/2 = ±i. Der Wert a = 0 wird nicht angenommen.
  2. f (z) = sin z und f (z) = cos z besitzen zwei Julia-Richtungen, nämlich ei0 = 1 und e = −1.
  3. f (z) = ez2 besitzt vier Julia-Richtungen, nämlich e/4, e3/4, e5/4, e7/4.
  4. \(f(z)=cos\sqrt{z}\) besitzt eine Julia-Richtung, nämlich ei0 = 1.

Es gibt ganz transzendente Funktionen f derart, daß jede Richtung eine Julia-Richtung von f ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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