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Lexikon der Mathematik: Kac-Moody-Algebren

eine wichtige Klasse von unendlichdimensionalen Lie-Algebren.

Sie werden ausgehend von einer verallgemeinerten Cartan-Matrix konstruiert. Eine verallgemeinerte Cartan-Matrix ist eine ganzzahlige (n × n)- Matrix A = (aij)i,j = 1,…,n mit

  1. aii = 2, i = 1,…,n,
  2. aij ≤ 0, für ij, und
  3. aij = 0 ⇒ aji = 0.
Die zugeordnete abgeleitete Kac-Moody-Algebra g′(A) wird erzeugt von 3n Erzeugenden ei, fi, hi, i = 1,…,n, mit den Relationen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}[{h}_{i},{h}_{j}]=0,\,[{e}_{i},{f}_{i}]={h}_{i},[{e}_{i},{f}_{j}]=0(i\ne j),\\ [{h}_{i},{e}_{j}]={a}_{ij}{e}_{j},[{h}_{i},{f}_{i}]=-{a}_{ij}{f}_{j},\\ {(\text{ad}\,{e}_{i})}^{1-{a}_{ij}}{e}_{i}=0,\,{(\text{ad}\,{f}_{i})}^{1-{a}_{ij}}{f}_{j}=0,\,(i\ne j).\end{array}\end{eqnarray}

Sei die Matrix A vom Rang r, und sei sie durch Permutation bereits in die Form gebracht worden, daß die ersten r Zeilen linear unabhängig sind. Dann wird die volle Kac-Moody-Algebra g(A) erhalten durch Hinzufügen von nr weiteren Elementen dj, j = r + 1,…,n, den Derivationen, mit \begin{eqnarray}\begin{array}{llllll}[{d}_{j},{h}_{i}] = 0, & [{d}_{j},{d}_{k}] = 0,\\ [{d}_{j},{e}_{i}] = {\delta }_{j,i}{e}_{i}, & [{d}_{j},{f}_{i}] = -{\delta }_{j,i}{f}_{i},\end{array}\end{eqnarray} für i = 1,…,n und j, k = r + 1,…,n.

Die Klasse der Kac-Moody-Algebren zerfällt in mehrere Teilklassen. Für unzerlegbare Matrizen A sind die wichtigsten Klassen die folgenden:

  1. Besitzt die Matrix A positive Determinante, so ist die Kac-Moody-Algebra eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra.
  2. Existiert eine nichtsinguläre Diagonalmatrix D derart, daß DA symmetrisch und positiv semidefinit, jedoch nicht definit ist, so erhält man eine affine Kac-Moody-Algebra. Der Rang der Matrix A ist in diesem Fall notwendig gleich n − 1.
  3. Existiert eine nichtsinguläre Diagonalmatrix D derart, daß DA symmetrisch und vom indefiniten Typ ist, so erhält man eine hyperbolische Kac-Moody-Algebra.

Die affinen Kac-Moody-Algebren kann man noch weiter unterscheiden in die ungetwisteten (auch affine Lie-Algebren genannt) und die getwisteten. Jede affine (ungetwistete) Lie-Algebra lässt sich über die zentrale Erweiterung \(\begin{eqnarray}{\hat{{\mathfrak{g}}}}{^{\prime} }\end{eqnarray}\) der Schleifenalgebra ausgehend von einer endlichdimenensionalen einfachen Lie-Algebra \({\mathfrak{g}}\) mit normalisierter Killing-Form (.|.) erhalten. Sie ist als Vektorraum gegeben durch \begin{eqnarray}{\hat{{\mathfrak{g}}}}{^{\prime} }=g\otimes {\mathbb{C}}[t,{t}^{-1}]\oplus {\mathbb{C}}c,\end{eqnarray} wobei ℂ [t, t−1] den Ring der Laurent-Polynome bezeichnet. Die Lie-Struktur ist gegeben durch \begin{eqnarray}[x\otimes {t}^{n},y\otimes {t}^{m}]:=[x,y]\otimes {t}^{n+m}+n(x|y){\delta }_{n,-m}\cdot c,[x\otimes {t}^{n},c]=0.\end{eqnarray} Um die volle affine Kac-Moody-Algebra ĝ zu erhalten, ist noch eine Derivation d hinzufügen, für die gilt \begin{eqnarray}[d,c]=0,\quad[d,x\otimes {t}^{n}]=n(x\otimes {t}^{n}).\end{eqnarray}

[1] Kac, V.G.: Infinite dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, 1990.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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