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Lexikon der Mathematik: Kählersche Mannigfaltigkeit

differenzierbare Mannigfaltigkeit M, die sowohl eine komplexe Struktur I als auch eine Riemannsche Metrik g, die Kählersche Metrik oder Kähler-Metrik trägt, wobei beide Strukturen kompatibel sind in dem Sinne, daß

  1. g(IX, IY) = g(X, Y) gilt für alle Vektorfelder X, Y, und
  2. I bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhanges von g kovariant konstant ist.

Man nennt das Paar (I, g) die Kählersche Struktur von M.

Die Kähler-Form ω(X, Y) ≔ g(IX, Y) ist stets eine symplektische 2-Form, sodaß Kählersche Mannigfaltigkeiten zu den symplektischen Mannigfaltigkeiten gehören. Beispiele sind ℂn und die komplex-projektiven Räume. Jede komplexe Untermannigfaltigkeit einer Kählerschen Mannigfaltigkeit wird automatisch Kählersch mit der induzierten Riemannschen Metrik. Wichtige Beispiele hierfür sind alle regulären projektiven Varietäten.

Jede koadjungierte Bahn M einer kompakten Lie-Gruppe G ist mit mindestens einer homogenen Kähler-Struktur versehen. Dies führt zu dem Satz von A.Borel, A.Weil und R.Bott, daß man jede irreduzible Darstellung von G in geometrischer Weise in holomorphen Schnitträumen von holomorphen homogenen komplexen Geradenbündeln über M realisieren kann. Umgekehrt ist jede homogene kompakte Kählersche Mannigfaltigkeit eine koadjungierte Bahn einer kompakten Lie-Gruppe, was eine Klassifikation erlaubt (A.Borel, 1954).

Kompakte Kählersche Mannigfaltigkeiten unterliegen starken topologischen Einschränkungen: Ihre 2k-ten de Rhamschen Kohomologiegruppen sind verschieden von 0 für 2k ≤ dim M, und ihre (2k + 1)-ten de Rhamschen Kohomologiegruppen sind geradedimensional. Die Hopf-Fläche S3 × S1, die sich als Quotient aus ℂ2 \ {0} ergibt, ist eine komplexe Mannigfaltigkeit, die aber weder symplektisch noch Kählersch sein kann. Ferner gibt es eine vierdimensionale kompakte symplektische Mannigfaltigkeit, deren erste de Rhamsche Kohomologiegruppe dreidimensional ist, und die ebenfalls nicht Kählersch sein kann (W.Thurston, 1976).

[1] Griffiths, P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Wiley New York, 1978.
[2] Kobayashi, S.; Nomizu, K.: Foundations of Differential Geometry, vol II. Wiley New York, 1969.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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