Satz über die Existenz von Fixpunkten mengenwertiger Abbildungen:

Es sei K eine kompakte konvexe nicht leere Teilmenge eines lokalkonvexen Raums, und es sei T : K → 2^Keine mengenwertige Abbildung, die jedem Punkt x ∈ K eine nicht leere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von K zuordnet.

T sei halbstetig von oben, d. h.

{x ∈ K : T(x) ∩ A ≠ Ø}

ist für alle abgeschlossenen Teilmengen A ⊂ K abgeschlossen. Dann besitzt T einen Fixpunkt, also einen Punkt x₀mit x₀ ∈ T(x₀).

Eine Variante ist der Fixpunktsatz von Bohnenblust-Karlin:

Sei M eine abgeschlossene konvexe nicht leere Teilmenge eines Banachraums, und es sei T : M → 2^Meine mengenwertige Abbildung, die jedem Punkt x ∈ M eine nicht leere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von M zuordnet. T sei halbstetig von oben, und ⋃_x∈MT(x) sei relativ kompakt. Dann besitzt T einen Fixpunkt.

[1] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1986.