Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Kakutani, Fixpunktsatz von

Satz über die Existenz von Fixpunkten mengenwertiger Abbildungen:

Es sei K eine kompakte konvexe nicht leere Teilmenge eines lokalkonvexen Raums, und es sei T : K → 2Keine mengenwertige Abbildung, die jedem Punkt xK eine nicht leere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von K zuordnet.

T sei halbstetig von oben, d. h.

{xK : T(x) ∩ A ≠ Ø}

ist für alle abgeschlossenen Teilmengen AK abgeschlossen. Dann besitzt T einen Fixpunkt, also einen Punkt x0mit x0T(x0).

Eine Variante ist der Fixpunktsatz von Bohnenblust-Karlin:

Sei M eine abgeschlossene konvexe nicht leere Teilmenge eines Banachraums, und es sei T : M → 2Meine mengenwertige Abbildung, die jedem Punkt xM eine nicht leere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von M zuordnet. T sei halbstetig von oben, undxMT(x) sei relativ kompakt. Dann besitzt T einen Fixpunkt.

[1] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1986.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos