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Lexikon der Mathematik: kanonische Entwicklung

die Darstellung der ersten Glieder der Taylorreihe einer differenzierbaren Kurve α(s) im ℝ3 durch deren Krümmung κ(s) und τ(s).

Ist s der Parameter der Bogenlänge auf α(s) und \({\mathfrak{t}},{\mathfrak{n}},{\mathfrak{b}}\) das begleitende Dreibein, so gilt nach den Frenetschen Formeln \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\alpha ^{\prime} (s) & = & {\mathfrak{t}}(s),\\ \alpha ^{\prime\prime} (s) & = & {\mathfrak{t}}^{\prime} (s)=\kappa (s)\,{\mathfrak{n}}(s),\\ \alpha ^{\prime\prime\prime} (s) & = & \kappa ^{\prime} (s)\,{\mathfrak{n}}(s)+\kappa (s)\,{\mathfrak{n}}^{\prime} (s)\\ & = & -{\kappa }^{2}(s){\mathfrak{t}}+\kappa ^{\prime} (s)\,{\mathfrak{n}}(s)+\kappa (s)\,\tau (s){\mathfrak{b}}(s).\end{array}\end{eqnarray}

In die Taylorreihe α(s + h) = α(s) + ′′(s) + h/2! α′′(s) + h3/3! α′′′(s) + ··· eingesetzt und nach den Vektoren \({\mathfrak{t}}(s),{\mathfrak{n}}(s),{\mathfrak{b}}(s)\) des begleitenden Dreibeins geordnet ergibt das die kanonische Entwicklung \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\alpha (s+h)=\alpha (s)+\left(h-\displaystyle \frac{{\kappa }^{2}(s)}{6}{h}^{3}\right){\mathfrak{t}}(s)+\\ \,\,\,\,\,\,\,\left(\displaystyle \frac{\kappa (s)}{2}{h}^{2}+\displaystyle \frac{\kappa ^{\prime} (s)}{6}{h}^{3}\right){\mathfrak{n}}(s)+\displaystyle \frac{\kappa (s)\tau (s)}{6}{h}^{3}{\mathfrak{b}}(s)+\\ \,\,\,\,\,\,\,{\varrho }_{3}(s,h),\end{array}\end{eqnarray} in der das Restglied ϱ3(s, h) eine Vektorfunktion ist, die für h → 0 schneller als h3 gegen Null geht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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