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Lexikon der Mathematik: Kapazität

logarithmische Kapazität, eine Maßzahl für eine beschränkte Borel-Menge der folgenden Art.

Die Kapazität einer beschränkten Borel-Menge E ⊂ ℂ ist definiert durch cap Eev(E), wobei

v(E) ≔ inf{I[μ] : μ ∈ ℳ (E)}.

Dabei ist \( {\mathcal M} (E)\)die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf E und \begin{eqnarray}I[\mu ]:=\displaystyle \int \displaystyle {\int }_{E\times E}log\frac{1}{|w-z|}d\mu (w)d\mu (z)\end{eqnarray} das Energieintegral bezüglich μ. Es kann vorkommen, daß I[μ] = für alle μ ∈ ℳ (E), d.h. v(E) = ∞. In diesem Fall setzt man cap E ≔ 0. Andererseits gilt für w, zE stets \begin{eqnarray}\mathrm{log}\frac{1}{|w-z|}\ge \mathrm{log}\frac{1}{\text{diam E}}\end{eqnarray} und daher \begin{eqnarray}v(E)\ge \mathrm{log}\frac{1}{\text{diam E}}\gt -\infty, \end{eqnarray} wobei diam E = sup {|ω − ζ| : ω, ζ ∈ E} der Durchmesser von E ist. Hieraus folg sofort cap E ≤ diam E.

Im folgenden Satz sind wichtige Eigenschaften der Kapazität zusammengestellt.

Die Funktion E ↦ cap E, die jeder beschränkten Borel-Menge E ⊂ ℂ ihre Kapazität zuordnet, hat folgende Eigenschaften:

  1. Für a ∈ ℂ gilt cap {a} = 0.
  2. sind a, b ∈ ℂ und f : ℂ → ℂ definiert durch f (z) = az + b, z ∈ ℂ, so gilt cap f (E) = |a| cap E.
  3. Ist E1E2, so gilt cap E1 ≤ cap E2.
  4. Es gilt \begin{eqnarray}\text{cap}E\ge \sqrt{\frac{{m}_{2}(E)}{\pi e},}\end{eqnarray}wobei m2(E) das zweidimensionale Lebesgue-Maß von E bezeichnet.
  5. (e) Es gilt cap E = sup {cap K : KE, K kompakt}.
  6. (f) Ist (Kn) eine Folge kompakter Mengen inmit cap Kn = 0 für alle n ∈ ℕ und ist \(k={\cup }_{n=1}^{\infty }{K}_{n}\)eine kompakte Menge, so gilt cap K = 0.
  7. (g) Ist K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und cap E = 0, so ist K total unzusammenhängend, d. h. jede Zusammenhangskomponente von K besteht aus nur einem Punkt.

Ist K ⊂ [0, 1] das Cantorsche Diskontinuum, so ist K total unzusammenhängend und m1(K) = 0, wobei m1 das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet. Andererseits gilt cap K ≥ 3−4 > 0.

Für kompakte Mengen K ⊂ ℂ stimmt die Kapazität von K mit dem transfiniten Durchmesser von K überein. Hierdurch werden maßtheoretische mit geometrischen Eigenschaften von K miteinander verknüpft und eine Berechnungsmethode für cap K geliefert. Ist G ⊂ ℂ die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ℂ \ K, so ist ∂G eine kompakte Menge, und es gilt cap K = cap ∂G.

Einige Beispiele:

  1. Ist K eine abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius R > 0, so gilt cap K = cap ∂K = R. Ist B ein abgeschlossener Kreisbogen auf ∂K der Länge ϑR, 0 ≤ ϑ ≤ 2π so gilt cap B = R sin (ϑ/4).
  2. Ist K eine abgeschlossene Strecke der Länge L, so gilt cap K = L/4.
  3. Ist K eine Ellipse mit Halbachsen a > 0 und b > 0, so gilt cap K = (a + b)/2.
  4. Ist p(z) = zn + a1zn−1 + … + an, n∈ ℕ, R > 0 und K ={z ∈ ℂ : |p(z)| ≤ R}, so gilt cap \(k=\sqrt[n]{R.}\)
  5. Es sei K eine kompakte, zusammenhängende Menge und G ⊂ \(\hat{{\mathbb{C}}}\backslash K\), die ∞ enthält. Weiter sei f die konforme Abbildung von {w ∈ ℂ : |w| > 1} ⋃ {∞} auf G mit f(∞) = ∞ und ϱ ≔f′(∞) > 0. Dann gilt cap K = ϱ.
  6. Es sei K eine kompakte Menge und f : K → ℂ eine Funktion derart, daß |f(w) – f(z)| ≤ |wz| für alle w, zK. Dann gilt cap f(K) ≤ cap K.
  7. Es sei γ eine rektifizierbare Jordan-Kurve oder ein Jordan-Bogen. Weiter sei K eine kompakte Teilmenge von γ der Bogenlänge |K|. Dann gilt cap K ≥ |K|/4.
  8. Ist K eine kompakte, zusammenhängende Menge, so gilt cap \(K \ge \frac{1}{4}\) diam K.

Der Begriff der Kapazität spielt eine wichtige Rolle in der Potentialtheorie und in der Theorie der konformen Abbildungen. Zum Beispiel gilt folgender Satz.

Es sei f eine in 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} schlichte Funktion. Dann existiert eine kompakte Menge K ⊂ 𝕋 = ∂𝕋 mit cap K = 0 derart, daß für alle ζ ∈ 𝕋 \ K der radiale Grenzwert \begin{eqnarray}{f}^{* }(\zeta ):= \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\gamma \to 1}f(\gamma \zeta )\in {\mathbb{C}}\end{eqnarray}existiert.

Allgemeiner versteht man unter einer Kapazität auch eine Mengenfunktion mit folgenden speziellen Eigenschaften.

Es sei Ω eine Menge und \( {\mathcal M} \subseteq {\mathcal P}(\Omega )\)ein durchschnitt- und vereinigungstabiles Mengensystem in Ω mit ø ∈ . Eine Mengenfunktion μ : \({\mathcal P}(\Omega )\to \overline{{\mathbb{R}}}\) heißt -Kapazität, falls μ isoton und stetig von unten ist, und wenn für alle antitonen Folgen (Mn|n ∈ ℕ) ⊆ mit M ≔ ∩n∈ℕMn gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\mu ({M}_{i})=\mu (M).\end{eqnarray}

A ⊆ Ω heißt (μ)-kapazitibel, falls \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\mu (A)={\rm{sup}}\{\mu (B)|A\\ \quad\quad\,\, \supseteq B\in \{\displaystyle \mathop{\cap }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{M}_{n}|({M}_{n}|n\in {\mathbb{N}})\subseteq {\mathcal M}\}\}.\end{array}\end{eqnarray}

Jede -Souslin-Menge ist (-μ)-kapazitibel.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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