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Lexikon der Mathematik: Kapazitätsdimension

Kästchenzähldimension, manchmal auch Box-Dimension genannt, wichtiges Beispiel einer fraktalen Dimension.

Es sei X ein Banachraum. Für eine nichtleere beschränkte Teilmenge FX bezeichne Nδ (F) die kleinste Anzahl abgeschlossener Kugeln mit Radius δ > 0, die F überdecken. Sind die untere und obere Kapazitätsdimension \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{\underline {\dim } _{Kap}}F & := & \mathop{\mathrm{lim}\inf }\limits_{\delta \to 0}\frac{\mathrm{log}\,{N}_{\delta }(F)}{-\mathrm{log}\,\delta } & \text{und}\\ {\underline {\dim } _{Kap}}F & := & \mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{\delta \to 0}\frac{\mathrm{log}\,{N}_{\delta }(F)}{-\mathrm{log}\,\delta } & \end{array}\end{eqnarray} gleich, dann nennt man \begin{eqnarray}{\dim }_{Kap}F:= {\underline {\dim } _{Kap}}F={\overline {\dim } _{Kap}}F=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\delta \to 0}\frac{\mathrm{log}\,{N}_{\delta }(F)}{-{\mathrm{log}}\,{\delta }}\end{eqnarray} Kapazitätsdimension von F.

Ist X = ℝn mit n ∈ ℕ, kann man Nδ (F) auch wie folgt definieren: Man teile den Grundraum ℝn in n-dimensionale Würfel \({\{{B}_{j}^{\delta }\}}_{j\in {\mathbb{N}}}\)der Seitenlänge δ ein. Die Anzahl der Gitterwürfel, die die Menge F schneiden, bezeichne man als Nδ(F), also \begin{eqnarray}{N}_{\delta }(F):= \#\{{j}|{B}_{j}^{\delta }\cap F\ne \emptyset\}.\end{eqnarray}

Für X = ℝn erhält man damit eine Definition, die zur obigen äquivalent ist (daher der Name Kästchenzähldimension).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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