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Lexikon der Mathematik: Kaprekar-Konstante

die 1955 von D. R. Kaprekar angegebene Zahl k = 6174.

k ist die einzige (im Dezimalsystem) vierstellige Zahl mit der Eigenschaft T10(k) = k. Dabei sei T10\(= p^{\prime} – p^{\prime\prime}\)für \(p\in {\mathbb{N}}\) wobei \(p^{\prime} \)bzw. \(p^{\prime\prime} \)die Dezimalzahlen seien, die aus den absteigend bzw. aufsteigend sortierten Dezimalziffern von p gebildet sind, also z. B. \({k^{\prime}} \) = 7641 und \({k^{\prime\prime}} \) = 1467.

Ist p irgendeine (im Dezimalsystem) vierstellige Zahl, die nicht vier gleiche Dezimalziffern hat, \(p_{1}={T}_{10}(p),p_{2}={T}_{10}(p_{1})\) usw., so gilt \begin{eqnarray}p_{n}\to k\,\,\,\,{\text{f}}{\rm{\ddot {u}}}{\text{r}}\,\,\,\,n\to \infty \end{eqnarray}

Dabei reichen acht Iterationen aus, d. h. es ist p8 = k.

Allgemeiner nennt man \(p\in {\mathbb{N}}\)eine Kaprekar-Konstante zur Basis \(b\in {\mathbb{N}},b\ge 2\), wenn Tb(p) = p gilt mit der entsprechend zu T10 definierten Funktion Tb.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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