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Lexikon der Mathematik: kartesische Koordinaten

die Komponenten α1,…αn eines Vektors a = (α1,…αn) im ℝn (für n ∈ ℕ). Dies sind gerade die Koeffizienten in der Darstellung bezüglich der Basis mit den kanonischen Einheitsvektoren \({{\mathfrak{e}}}_{1},\ldots {{\mathfrak{e}}}_{n},\)\begin{eqnarray}a=\displaystyle \sum _{{\mathcal{V}}=1}^{n}{\alpha }_{{\mathcal{V}}}{{\mathfrak{e}}}_{{\mathcal{V}}}.\end{eqnarray}

Die Bezeichnung geht auf René Descartes zurück, der die Bedeutung der Koordinatensysteme für die moderne Mathematik erkannte.

Kartesische Koordinaten werden auch rechtwinklige Koordinaten genannt. Sie sind das gebräuchlichste Hilfsmittel, um die Position von Punkten in der Zeichenebene und im dreidimensionalen Raum durch Zahlen auszudrücken. Ein kartesisches Koordinatensystem setzt die Wahl von aufeinander orthogonal stehenden Koordinatenachsen voraus. In der Ebene sind die Koordinaten als Abstände von den (zwei) Achsen definiert. Werden die Achsen mit x und y bezeichnet, so ist die x-Koordinate eines Punktes sein Abstand von der y-Achse und umgekehrt. Hat ein Punkt P die x-Koordinate α und die y-Koordinaten β (kurz: x = α und y = β), so wird dafür P(α, β) oder P(α/β) geschrieben.

Im Raum werden drei Achsen verwendet und oft mit den Buchstaben x (Abzisse), y (Ordinate) und z (Applikante) bezeichnet. Die drei Achsen bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Hat ein Punkt P die Koordinaten x = α, y = β und z = γ, so wird dies auch als P(α, β, γ) oder P(α/β/γ) geschrieben.

Hinter diesen Überlegungen steckt lediglich, daß Ebene (mathematisch ℝ2) und dreidimensionaler Raum (mathematisch ℝ3) als das kartesische Produkt von zwei bzw. drei Kopien der Zahlengeraden ℝ definiert werden können. Insofern sind die kartesischen Koordinaten besonders natürliche. Dabei ist allerdings zu bedenken, daß es viele zueinander „verdrehte“ kartesische Koordinatensysteme gibt – drei paarweise orthogonale Vektoren i, j, k der Länge 1 mit i × j = k reichen aus. So bezeichnet man auch in abstrakter Formulierung ein (n + 1)-Tupel (O, b1,…,bn), bestehend aus einem Punkt O des n-dimensionalen affinen Raumes A und n Vektoren b1,…,bn des A zugrundeliegenden Vektorraumes V mit der Eigenschaft, daß das n-Tupel \((\overrightarrow{O{P}_{1}},\ldots, \overrightarrow{O{P}_{n}})\) eine Orthonormalbasis von V bildet, als kartesisches Koordinatensystem. Pi, 1 ≤ in, bezeichnet dabei den eindeutig bestimmten Punkt aus A mit \(\overrightarrow{O{P}_{i}}={b}_{i}.\)

Neben kartesischen werden auch andere Koordinatensysteme verwendet. Indem man Punkte durch Zahlenpaare bzw. -tripel beschreibt, werden viele geometrische Probleme einer rein rechnerischen Behandlung zugänglich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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