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Lexikon der Mathematik: Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung

Kuhn-Tucker-Bedingung, bezeichnet eine wichtige Eigenschaft von gewissen Punkten \(\bar{x}\) aus dem Zulässigkeitsbereich eines Optimierungsproblems, die bei der Suche nach Extremalpunkten eine zentrale Rolle spielt.

Es sei das Minimum einer Funktion fC1(ℝn, ℝ) (also einer reellwertigen Funktion aus C1(ℝn)) unter der Nebenbedingung xM gesucht. Dabei hat M die übliche Form \begin{eqnarray}M:=\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{h}_{i}(x)=0,i\in I;{g}_{j}(x)\ge 0,j\in J\}\end{eqnarray} mit endlichen Indexmengen I und J und Funktionen hi, gjC1(ℝn, ℝ). Ein Punkt \(\bar{x}\in M\) erfüllt die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung, sofern es reelle Zahlen \({\bar{\lambda }}_{i},i\in I,\text{und}\,{\bar{\mu }}_{j},j\in {J}_{0}(\bar{x})\) gibt (wobei \begin{eqnarray}{J}_{0}(\bar{x}):=\{j\in J|{g}_{j}(\bar{x})=0\}),\end{eqnarray} die die folgenden Bedingungen erfüllen: \begin{eqnarray}Df(\bar{x})=\displaystyle \sum _{i\in I}{\bar{\lambda }}_{i}\cdot D{h}_{i}(\bar{x})+\displaystyle \sum _{j\in {J}_{0}(\bar{x})}{\bar{\mu }}_{j}\cdot D{g}_{j}(\bar{x})\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\bar{\mu }}_{j}\ge 0\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\, \text {alle}\,j\in {J}_{0}(\bar{x}).\end{eqnarray}

Unter Gültigkeit gewisser Regularitätsbedingun-gen, wie zum Beispiel der linearen Unabhängig-keitsbedingung, erfüllen lokale Minimalpunkte vonf|M immer die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung.

Letztere läst sich auch in der Form \begin{eqnarray}Df(\bar{x})=\displaystyle \sum _{i\in I}{\bar{\lambda }}_{i}\cdot D{h}_{i}(\bar{x})+\displaystyle \sum _{j\in J}{\bar{\mu }}_{j}\cdot D{g}_{j}(\bar{x}),\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{\bar{\mu }}_{j}\cdot (\bar{x})=0,\end{eqnarray}\(\bar{\mu }\geqq 0\) für alle j∈ J schreiben. Da man hier für alle Indizes j ∈ J↗Lagrange-Multiplikatoren\({\bar{\mu }}_{j}\) betrachtet, mußzusätzlich die Komplementaritätsbedingung \({\bar{\mu }}_{j}\cdot \)\({g}_{j}(\bar{x})=0\)j ∈ J erfüllt sein.

Als geometrische Veranschaulichung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung betrachte man eine differenzierbare Abbildung f :ℝ2 → ℝ und eine Nebenbedingung h(x, y) = 0 mit differenzierbarem h :ℝ2 → ℝ. Es sei \((\bar{x},\bar{y})\) ein lokaler Extremalpunktvon f|M, wobei \begin{eqnarray}M:=\{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|h(x,y)=0\}\end{eqnarray} ist. Die Gültigkeit der linearen Unabhängigkeitsbedingung in \((\bar{x},\bar{y})\) bedeutet grad h\((\bar{x},\bar{y})\) ≠ 0 ∈ ℝ2; somit ist die Menge M lokal durch einen Parameter parametrisierbar (Satz über implizite Funktionen). Betrachtet man die Niveaulinien \begin{eqnarray}{M}_{c}:=\{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|f(x,y)=0\}\end{eqnarray} von f für c ∈ ℝ,so besagt die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung anschaulich, daß die Niveaulinie \({M}_{\bar{c}}\)für \(\bar{c}:=f(\bar{x},\bar{y})\) die Kurve M berühren muß (Abbildung a)). Andernfalls würden alle die Niveaulinien Mc für Werte c, die nahe genug bei \(\bar{c}\) liegen, die Kurve M transversal schneiden (Abbildung b)). Da dies sowohl für Werte c > \(\bar{c},\) als auch für solche < \(\bar{c}\) gelte, könnte dann \((\bar{x},\bar{y})\) kein lokaler Extremalpunkt von f|M sein.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Abbildung 2 zum Lexikonartikel Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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