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Lexikon der Mathematik: Katastrophentheorie

eine Theorie, die mathematische Modelle für die Evolution von Formen in der Natur bereitstellt.

Basiskonzept der Katastrophentheorie ist der Begriff des statischen Modells. Darunter versteht man eine Familie von Potentialfunktionen fu :X → ℝ, wobei X ⊆ ℝn eine Umgebung des Nullpunkts enthält, und der Parameter u in einer Umgebung U des Nullpunkts von ℝr liegt. ℝn heißt dann interner Raum oder auch Statusraum, während ℝr als externer Raum oder auch Kontrollraum bezeichnet wird. Die Dimensionszahl n kann beliebig groß werden, für r gilt die Schranke r ≤ 4. Jedes lokale Minimum von fu ist ein Kandidat für den Status des Modells bezüglich des Kontrollpunktes uU. Ein statisches Modell kann als Keim von C-Funktionen f : ℝn ⨉ ℝr → ℝ bei 0 interpretiert werden. Sei weiterhin E(n, m) der Vektorraum aller Keime von C-Funktionen f :ℝn → ℝm bei 0 und sei B(n) ⊆ E(n, n) die Teilmenge aller invertierbaren Keime ℝn → ℝn die die 0 in die 0 abbilden. Setzt man E(n) = E(n, 1), dann ist E(n) eine lokale Algebra mit dem eindeutigen maximalen Ideal M (η) = {ηE(n)| η(0) = 0}. Zwei Keime f und g heißen äquivalent, falls es ein hB(r),eine Familie von HuB(n), uU ⊆ ℝr, und ein εM(r) gibt so, daß \begin{eqnarray}f(x,y)=g({H}_{u}(x),h(u))+\varepsilon (u)\end{eqnarray}gilt. Ein statisches Modell (r,f) heißt dann stabil, falls jede kleine Störung (r, g) von (r,f) in E(n + r) äquivalent ist zu (r,f). Für r ≤ 4 ist die Menge aller stabilen statischen Modelle eine offene und dichte Teilmenge von E (n + r). Bis auf die Addition einer nicht-degenierten quadratischen Form und bis auf die Multiplikation mit ±1 ist jedes stabile statische Modell (r,f) äquivalent zu einem Modell mit einem Standardpotential F. Die statischen Modelle mit diesen Standardpotentialen heißen elementare Katastrophen und können als qualitative Modelle vieler natürlicher Prozesse verwendet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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