gemeinsam mit dem Begriff des Funktors für die algebraische Geometrie, homologische Algebra, Homologietheorie und Homotopie-Theorie eine nützliche und kompakte Sprache, um gewisse Sachverhalte kurz und prägnant ausdrücken zu können.

Eine Kategorie 𝒞 ist durch folgende Daten gegeben:

1. (i) Für alle ObjekteX gibt es ein neutrales Element e_X ∈ Hom_𝒸(X,X) mit e_X ∘ g = g,f ∘ e_X = f für alle g : Z→X bzw. für alle f : Y→ Z in 𝒞.
2. (ii) (Assoziativgesetz): Für alle\(X\mathop{\to }\limits^{f}Y\mathop{\to }\limits^{g}Z\mathop{\to }\limits^{h}W\)in 𝒞 gilt: (h ∘ g) ∘f = h∘ (g ∘f).

Formal kann man zu jeder Kategorie 𝒞 eine neue Kategorie 𝒞^ob definieren mit 𝒪b(𝒞) = 𝒪b(𝒞^op), \({\text{Hom}}_{{{\mathcal{C}}}^{op}}(X,Y)={\text{Hom}}_{{\mathcal{C}}}(Y,X)\) und, wenn man der Deutlichkeit wegen einen Morphismus f, aufgefaßt als Element von 𝒞^op, mit f* bezeichnet, der Setzung \begin{eqnarray}g^* \circ f^* =(f\circ g)^*.\end{eqnarray}

Mit Mor(𝒞) bezeichnen wir die Klasse aller Mor-phismen aus 𝒞, und für (f : X →Y) ∈ Mor(𝒞) heißt X (resp. Y) Start resp. Ziel von f. Ein Funktor (kovarianter Funktor) einer Kategorie 𝒞 in eine Kategorie 𝒟 ist ein Paar von Abbildungen \begin{eqnarray}F:{\mathcal{O}}b({\mathcal{C}})\to {\mathcal{O}}b({\mathcal{D}}),F:Mor({\mathcal{C}})\to Mor({\mathcal{D}}),\end{eqnarray} das Start und Ziel und die Verknüpfung von Mor-phismen respektiert. Der Morphismus F(f) wird häufig mit f_* bezeichnet. Ein Kofunktor (kontra-varianter Funktor) von 𝒞 in 𝒟 ist ein Funktor F : 𝒞^op →𝒟. Anstelle von F(f*) schreibt man oft einfach f*.

In den meisten Beispielen sind die Objekte Mengen mit bestimmten Strukturen. Morphismen sind Abbildungen, die diese Strukturen respektieren, und die Verknüpfung ist die übliche Komposition von Abbildungen.

Beispiele:

1. Die Mengen HomA(A, B) sind mit einer kommutativen Gruppenstruktur versehen.
2. In A existieren Faserprodukte und Fasersummen sowie ein Objekt 0 mit Hom_𝒜(A, 0) = Hom_𝒜(0, A) = {0} für alle A ∈ 𝒪b (𝒜). Damit lassen sich Kern und Kokern eines Morphismus \(X\mathop{\to }\limits^{f}Y\) in 𝒜 definieren: Ker(f) = 0 ⨉_Y X → X Coker(f) = Y → Y ⊕_X 0.
3. Zu jedem Morphismus a : A → B gibt es eine Zerlegung \(A\mathop{\to }\limits^{\bar a}A^{\prime\prime}\mathop{\to }\limits^{i}B\) mit \((A\mathop{\to }\limits^{\bar a}A^{})\) = Coker(Ker(a) → A) und \((A^{\prime\prime}\mathop{\to }\limits^{i}B)\) = Ker(B → Coker(a)).