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Lexikon der Mathematik: Kegelschnitt

Schnittfigur zwischen einem Kreiskegel k und einer Ebene ε.

Alle Kurven zweiter Ordnung können als Kegelschnitte aufgefaßt werden. In der Abbildung sind die drei wichtigsten Kegelschnitte dargestellt: Ellipse, Parabel und Hyperbel. Darüber hinaus können als sogenannte entartete Kegelschnittenoch Punkte, Geraden und Doppelgeraden auftreten.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kegelschnitt
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Wichtige Kegelschnitte

Welche Art von Kegelschnitt entsteht, hängt vom Öffnungswinkel α des Kreiskegels k, von dem Winkel β zwischen der Kegelachse und der Ebene ε, sowie davon ab, ob ε durch die Spitze S von k verläuft. Dabei können die folgenden Fälle auftreten.

Wählt man ein Koordinatensystem so, daß die Ebene ε die (x, y)-Ebene bildet, der Koordinatenursprung ein Punkt des Kegels ist, und die Kegelspitze S(xS;0;zS der (x, z)-Ebene angehört, so läßt sich die folgende allgemeine Scheitelgleichung der regulären Kegelschnitte herleiten: \begin{eqnarray}{y}^{2}=2px+({\varepsilon }^{2}-1){x}^{2}\end{eqnarray}

Dabei wird ε (mit ε ≥ 0) als numerische Exzentrizität und p als Halbparameter des Kegelschnittes bezeichnet. Der Parameter 2p eines Kegelschnittes ist dabei erklärt als Maßzahl der Länge der auf der Hauptachse in einem Brennpunkt senkrecht stehenden Sehne der Ellipse, Parabel bzw. Hyperbel.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Kegelschnitt
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Abbildung 3 zum Lexikonartikel Kegelschnitt
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Durch die Größe der numerischen Exzentrizität wird bestimmt, welche Art von Schnittkurve entsteht: Für ε > 1 beschreibt die Gleichung (1) eine Hyperbel, für ε = 1 eine Parabel, bei 0 < ε < 1 eine Ellipse, und für ε = 0 einen Kreis.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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