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Lexikon der Mathematik: Kegelspline

Basisfunktion des Raums der bivariaten Splinefunktionen hinsichtlich gleichmäßiger Partitionen.

Kegelsplines (engl.: cone splines) existieren auf gleichmäßigen Partitionen. Eine gleichmäßige Partitionen 𝒫 = {𝒫i : i = 1,…,N} einer einfach zusammenhängenden, kompakten Teilmenge Ω der Ebene erhält man, indem man diese mit einer endlichen Anzahl von Geraden schneidet. Beispiele oft verwendeter gleichmäßiger Partitionen sind Δ1-Zerlegungen (Triangulierungen) bzw. Δ2 -Zerlegungen (three-directional bzw. four-directional mesh), also Zerlegungen einer rechteckigen Grundmenge Ω in Dreiecke. Bei diesen zerlegt man Ω zunächst in Rechtecke und fügt dann die Diagonale(n) ein. Bezeichnet man mit Πq den Raum der bivariaten Polynome vom totalen Grad q, so wird der bivariate Splineraum hinsichtlich 𝒫 durch \begin{eqnarray}{S}_{q}^{r}{\cal P}=\{s\ \epsilon\ {C}^{r}(\Omega ):s|{\cal P}_{i}\ \epsilon\ {\Pi }_{q},\ i=1,\mathrm{…},N\}\end{eqnarray} definiert. Kegelsplines sind gewisse Funktionen aus \({S}_{q}^{r}({\cal P}),\) deren Träger, d. h. die Menge der Punkte, an denen ein Wert ungleich Null angenommen wird, die Form eines in eine Richtung geöffneten konvexen Kegels hat.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kegelspline
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Δ1-Zerlegung (links) und Δ2-Zerlegung; der gefärbte Bereich stellt jeweils den Träger eines Kegelsplines dar.

Gemeinsam mit den bivariaten Polynomen und den truncated-power-Funktionen bilden die Kegelsplines eine Basis von \({S}_{q}^{r}({\cal P}),\) Für Kegelsplines existiert i. allg. keine explizite Darstellung, sie sind lediglich implizit als Lösung eines linearen Gleichungssystems bestimmt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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