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Lexikon der Mathematik: Kelvin-Funktionen

die durch die gewöhnlichen Bessel-Funktionen für reelles ν und x definierten Funktionen \begin{eqnarray}be{r}_{\nu }(x)+ibe{i}_{\nu }(x):={J}_{\nu }(x{e}^{3\pi i/4}),\end{eqnarray}\begin{eqnarray}ke{r}_{\nu }(x)+ike{i}_{\nu }(x):={e}^{-i\nu \pi /2}{K}_{\nu }(x{e}^{i\pi /4}).\end{eqnarray} Gelegentlich findet man die Kelvin-Funktionen der Ordnung 0 auch ohne den Subindex ν notiert. Die Funktionen \begin{eqnarray}w=be{r}_{\nu }+ibe{i}_{\nu },be{r}_{-\nu }+ibe{i}_{-\nu }\\ ke{r}_{\nu }+ike{i}_{\nu },ke{r}_{-\nu }+ike{i}_{-\nu }\end{eqnarray} lösen die Differentialgleichung \begin{eqnarray}{x}^{2}\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}+x\frac{dw}{dz}-(i{x}^{2}+{\nu }^{2})w=0,\end{eqnarray} die Funktionen \begin{eqnarray}w=be{r}_{\pm \nu },be{i}_{\pm \nu },ke{r}_{\pm \nu },ke{i}_{\pm \nu }\end{eqnarray} sind jeweils Lösungen von \begin{eqnarray}{x}^{4}{\cal w}^{iv}+2{x}^{3}{\cal w}^{\prime\prime\prime}-(1+2{\nu }^{2})({x}^{2}{\cal w}^{\prime\prime}-x{\cal w}^\prime)({\nu }^{4}-4{\nu }^{2}+{x}^{4}){\cal w}=0.\end{eqnarray}

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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