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Lexikon der Mathematik: Kernschätzung

Bezeichnung für eine spezielle Klasse von Schätzungen für Verteilungsdichten stetiger Zufallsgrößen und Spektraldichten stationärer stochastischer Prozesse.

Eine Kernschätzung \(\widehat{f(x)}\) für eine Verteilungsdichte f(x) einer Zufallsgröße X muß im Gegensatz zu Histogrammen nicht von gleichverteilten Beobachtungswerten in den Klassen der zugrunde liegenden Klasseneinteilung ausgehen und hat die allgemeine Gestalt \begin{eqnarray}\widehat{f(x)}=\displaystyle \frac{1}{bn}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w\left(\frac{x-{x}_{i}}{b}\right).\end{eqnarray}

Dabei sind x1, …, xn die Stichprobe von X, b ein frei wählbarer Parameter, der bestimmt, wie breit das Intervall [x − 0, 5b, x + 0, 5b] ist, und w(u) eine Gewichtsfunktion, ein ‚Kern‘, der bestimmt, mit welchem Gewicht ein Wert xi ∈ [x − 0, 5b, x + 0, 5b] zur Schätzung von f an der Stelle x herangezogen wird. Um die asymptotische Erwartungstreue und Konsistenz von \(\widehat{f(x)}\) zu gewährleisten, muß w(u) eine beschränkte, symmetrische und nichtnegative Funktion sein, für die gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\displaystyle \int }}w(u)du=1,\,\,\,\,\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\displaystyle \int }}{w}^{2}(u)du\lt \infty \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\text{und}\,\,|\frac{w(u)}{u}|\to 0\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}|u|\to \infty.\end{array}\end{eqnarray}

Für üblicherweise verwendete Gewichtsfunktionen vergleiche man das Stichwort Dichteschätzung.

Auch in der Zeitreihenanalyse werden bei der Schätzung von Spektraldichten stationärer stochastischer Prozesse Kernschätzungen verwendet. Sei (Xt) ein im weiteren Sinne stationärer Prozeß, und sei \begin{eqnarray}\widehat{{I}_{N}(\lambda )}=\frac{1}{2\pi N}{|\displaystyle \sum _{t=1}^{N}{X}_{t}{e}^{-i\lambda t}|}^{2}\,\,\,(-\pi \,\le \,\lambda \,\lt \,\pi )\end{eqnarray} das Periodogramm auf der Basis von Beobachtungen X1, …, XN des Prozesses zu den Zeitpunkten t = 1, …, N. \(\widehat{{I}_{N}(\lambda )}\) ist dann eine asymptotisch erwartungstreue Schätzung für die Spektraldichte f(λ) des Prozesses. Die Konsistenz kann man durch eine sogenannte Glättung des Periodogramms, d. h. durch eine Kernschätzung der allgemeinen Form \begin{eqnarray}\widehat{{f}_{N}(\lambda )}=\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{w}_{N}(x,\,\lambda )\widehat{{I}_{N}(\lambda )}\,d\lambda \end{eqnarray} erreichen, wobei die Funktionenfolge (wN(x, λ))N bestimmte Eigenschaften haben muß, die den oben erwähnten Eigenschaften der Gewichtsfunktion w(u) analog sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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