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Lexikon der Mathematik: Kette (im Sinne der Funktionentheorie)

Abbildung Γ der Menge aller rektifizierbaren Wege in einer offenen Menge D ⊂ ℂ in die Menge ℤ der ganzen Zahlen, die nur endlich vielen Wegen eine von Null verschiedene Zahl zuordnet. Die Ketten in D bilden mit der üblichen Addition ℤ-wertiger Funktionen eine abelsche Gruppe.

Ist γ :[0, 1] → D ein rektifizierbarer Weg in D, so identifiziert man γ mit der Kette in D, die auf γ den Wert 1 und auf allen anderen Wegen in D den Wert 0 annimmt. Jede Kette Γ in D ist also eine endliche Linearkombination \begin{eqnarray}\unicode{x00393}=\displaystyle \sum _{k=1}^{k}{n}_{k}{\gamma }_{k}\end{eqnarray} von Wegen γ1, …, γk :[0, 1] → D in D mit Koeffizienten n1, …, nk ∈ ℤ. Anschaulich gibt nκ an, wie oft und in welcher Richtung der Weg γκ durchlaufen wird. Ketten werden koeffizientenweise addiert. Ist z. B. Γ1 = γ1 −2γ2 +3γ3 und Γ2 = 2γ2γ3 +5γ4, so ist Γ1 + Γ2 = γ1 + 2γ3 + 5γ4.

Ist f : γ1([0, 1]) ∪ ··· ∪ γk([0, 1]) → ℂ eine stetige Funktion, so ist das Integral von f über die Kette Γ definiert durch \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }f(z)dz=\displaystyle \sum _{k=1}^{k}{n}_{k}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma k}f(z)dz,\end{eqnarray} wobei :γκ f(z) dz das Wegintegral von f über γκ ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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