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Lexikon der Mathematik: Kettenpolynom

einer endlichen Ordnung zugeordnetes spezielles Polynom.

Sei P< eine endliche Ordnung, x ∈ ℕ, ℕx :={1 ⋖ 2⋖…⋖x}, und M(ℕx, P) die Menge aller monotonen Abbildungen von ℕx nach P. Dann heißt \begin{eqnarray}\kappa (P,x)\,:=|M({{\mathbb{N}}}_{x},P)|\end{eqnarray} das Kettenpolynom von P< .

Bezeichnet l = l(P) die Länge von P und uk die Anzahl der Ketten der Länge k in P, 0 ≤ kl, so gilt: \begin{eqnarray}\kappa (P,x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{l}\frac{{u}_{k}}{k!}{[x-1]}_{k}\end{eqnarray} wobei [x]n die fallende Faktorielle bezeichnet.

κ(P, x) ist also ein Polynom l-ten Grades mit höchstem Koeffizient \(\frac{{u}_{l}}{l!}\) und Absolutglied |P|.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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