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Lexikon der Mathematik: Kettenregel

eine der Differentiationsregeln. Die Kettenregel besagt, daß für eine an der Stelle x differenzierbare Funktion g und eine an der Stelle g(x) differenzierbare Funktion f die Funktion fg an der Stelle x differenzierbar ist mit \begin{eqnarray}{(f\circ g)}^{\prime}(x)={f}^{\prime}(g(x)){g}^{\prime}(x).\end{eqnarray}

Dies gilt sowohl für g : D → ℝ mit xD ⊂ ℝ und f : g(D) → ℝ, als auch (wenn man x als inneren Punkt von D voraussetzt) allgemeiner für g : D → ℝn mit D ⊂ ℝp und f : g(D) → ℝm bzw. für Funktionen zwischen normierten Vektorräumen, wobei dann f(g(x)) g′(x) das Produkt der Matrizen bzw. die Verkettung der linearen Abbildungen f′(g(x)) und g′(x) ist.

Speziell erhält man für F : ℝ → ℝ mit F (x) = f (g1(x), …, gn(x)) für x ∈ ℝ, g1, …, gn : ℝ → ℝ und f : ℝn → ℝ: Sind g1, …, gn differenzierbar an der Stelle t ∈ ℝ und f differenzierbar in (g1(t), …, gn(t)), so ist F differenzierbar an der Stelle t mit \begin{eqnarray}{F}^{\prime}(t)=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial {x}_{k}}({g}_{1}(t),\ldots,{g}_{n}(t))\right){{g}^{\prime}}_{k}(t).\end{eqnarray}

Dies folgt aus der allgemeinen Kettenregel, wenn man g(t) = (g1(t), …, gn(t)) setzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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