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Lexikon der Mathematik: kinetische Gastheorie

Statistik irreversibler Prozesse in Gasen.

Im Gegensatz zur Gleichgewichtsstatistik und Thermodynamik steht die zeitliche Entwicklung zum Gleichgewicht hin im Vordergrund. Dafür werden kinetische Gleichungen gesucht, die die zeitliche Entwicklung von Verteilungsfunktionen f(𝔯, 𝔳, t) beschreiben. Für die kinetische Gastheorie verdünnter Gase ist es die Boltzmann-Gleichung. Dabei benötigt man ein Modell für die Wechselwirkung der Gasmoleküle (Boltzmannscher Stoß-term).

Aus den kinetischen Gleichungen werden Transportgleichungen gewonnen, die dann schließlich zur die Herleitung der Grundgleichungen der Hydrodynamik herangezogen werden.

In der kinetische Gastheorie interessiert man sich vor allem für lokale Mittelwerte, d. h. Größen, die durch Mittelung über den Raum der Geschwindigkeiten 𝔳 entstehen. Eine solche Größe ist die lokale Entropie \begin{eqnarray}H=-k\displaystyle \int f\,\mathrm{ln}\, fd{\mathfrak{v}}\end{eqnarray} (hier mit H statt S aus historischen Gründen bezeichnet). Mit der Boltzmann-Gleichung wird für H eine Kontinuitätsgleichung der Form \begin{eqnarray}\frac{d}{dt}H+\text{div}\,{\mathfrak{S}}\,\,=\,\text{G}\ge 0\end{eqnarray} abgeleitet: Die zeitliche Änderung der Entropie H an einem Ort ergibt sich einmal durch Strömung und zum anderen durch die Ergiebigkeit einer Quelle. Für ein abgeschlossenes System gilt \begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\displaystyle \int Hd{\mathfrak{r}}\,\ge \,0.\end{eqnarray}

Diese Aussage ist als H-Theorem bekannt und bedeutet die Ableitung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Aus der obigen Kontinuitätsgleichung ergibt sich im Falle, daß die Entropie keine Quelle hat und sich an einem Ort nur durch Strömung ändert, der Ausdruck f = aeγ(𝔳−𝔲)2, wobei die Größen a, γ und u noch von 𝔯 und t abhängen können. Dieses f ist das lokale Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilungsgesetz. Aus der Forderung, daß dieses f auch der Boltzmann-Gleichung genügen soll, ergeben sich Einschränkungen an die noch freien Funktionen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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