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Lexikon der Mathematik: Klein, Christian Felix

deutscher Mathematiker, geb. 25.4.1849 Düsseldorf, gest. 22.6.1925 Göttingen.

Klein, Sohn eines Beamten, besuchte zuerst eine Privatschule, dann ein humanistisches Gymnasium in Düsseldorf und begann 1865 ein Studium der Mathematik und Naturwissenschaften an der Universität Bonn. Ab 1866 Vorlesungsassistent für Physik bei J. Plücker, wurde er gut mit dessen geometrischen Arbeiten vertraut und nach dem plötzlichen Tod Plückers mit der Herausgabe des zweiten Bandes von dessen Buch „Neue Geometrie des Raumes“ beauftragt. Nach der Promotion 1868 mit einem Thema zur Liniengeometrie setzte Klein seine Studien in Göttingen und im Wintersemester 1869/70 in Berlin fort. Hier lernte er O. Stolz und S. Lie kennen und ging mit letzterem im Sommer 1870 nach Paris, das er wegen des Deutsch-Französischen Krieges vorzeitig verließ. Nach kurzem Militärdienst und der Habilitation 1871 in Göttingen lehrte er als Professor an den Universitäten Erlangen (1872–1875) und Leipzig (1880–1886) sowie an der Technischen Hochschule München (1875–1880). 1886 nahm er einen Ruf an die Universität Göttingen an, an der er bis zur vorzeitigen Emeritierung 1913 tätig war.

Der Ausbau der Liniengeometrie bildete Kleins erstes Forschungsthema. Unter konsequenter Benutzung homogener Koordinaten und Anwendung der Weierstraßschen Elementarteilertheorie gelang ihm eine Klassifikation der Linienkomplexe zweiten Grades. Zusammen mit Lie entdeckte er dann wichtige Eigenschaften der Kummerschen Fläche, der Singularitätenfläche eines allgemeinen Linienkomplexes zweiten Grades, und offenbarte dabei seine außergewöhnliche geometrische Intuition. Von herausragender Bedeutung waren dann Kleins projektive Begründung der nichteuklidischen Geometrien und das „Erlanger Programm“ zu Beginn der 70er Jahre. Ausgehend von der von Ch. v. Staudt ohne Rückgriff auf metrische Elemente gegebenen Definition projektiver Koordinaten klärte Klein die Beziehungen zwischen projektiver Geometrie und metrischen Verhältnissen auf, bettete die nichteuklidischen Geometrien mit Hilfe der Cayleyschen Maßbestimmung in die projektive Geometrie ein, und konstruierte ein Modell der hyberbolischen Geometrie in der euklidischen Ebene. Unter Einbeziehung gruppentheoretischer Methoden konnte Klein in den „Vergleichende(n) Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen“ scheinbar divergierende Richtungen der Geometrie unter einheitlichen Gesichtspunkten zusammenfassen: Jeder Geometrie ordnete er eine Transformationsgruppe zu, und die Geometrie ist durch die bei den Transformationen der Gruppe invarianten Eigenschaften charakterisiert. Diese progammatische Schrift („Erlanger Programm“) wurde in 6 Sprachen übersetzt und hat die nachfolgende geometrische Forschung stark beeinflußt. Grundlegende Beiträge lieferte Klein auch zur komplexen Funktionentheorie und zu automorphen Funktionen. Er hat viele der Riemannschen Ideen im Detail entwickelt und die sehr fruchtbaren Verbindungen zur Zahlentheorie, zur Algebra, zur mehrdimensionalen Geometrie und zur Theorie der Differentialgleichungen sowie zur Potential-theorie aufgezeigt. Der Riemannschen Fläche gab er eine allgemeine Definition und machte sie zum Grundbestandteil der gesamten Theorie. 1882 publizierte er eine umfassende Ausarbeitung der geometrischen Funktionentheorie „Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale“. Besondere Aufmerksamkeit widmete Klein den automorphen und den Modulfunktionen, wo er im Wettstreit mit H. Poincaré wertvolle Resultate zur Uniformiserung erzielte. Im Vergleich zu Poincaré war Kleins Zugang geometrisch-algebraisch bestimmt und weniger analytisch. Im Mittelpunkt standen die Funktionen mit Grenzkreisgruppen, Klein fand jedoch auch diskontinuierliche Gruppen linearer Transformationen, die nicht zu diesen Typen gehörten, sog. Kleinsche Gruppen. In diesem Kontext formulierte er interessante Ergebnisse zu den von L. Fuchs untersuchten Differentialgleichungen und gab eine Methode an, um alle algebraisch integrierbaren linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung anzugeben.

Ein weiteres Beispiel seines Geschicks beim Zusammenführen von Elementen aus verschiedenen mathematischen Gebieten zur Lösung eines Problems lieferte Klein bei der Behandlung der allgemeinen Gleichung 5. Grades. Durch die Vereinigung von Resultaten aus der Lösungstheorie algebraischer Gleichungen, der Gruppentheorie, der Funktionentheorie, der Theorie des Ikosaeders und über Differentialgleichungen gelang ihm der Aufbau einer vollständigen Lösungstheorie für diese Gleichungen und damit die Vollendung der Vorarbeiten von L. Kronecker, C. Hermite und F. Brioschi.

In den 90er Jahren wandte sich Klein verstärkt Fragen der Physik und der Anwendungen der Mathematik sowie wissenschaftsorganisatorischen Aufgaben zu. So publizierte er 1897/98 zusammen mit A. Sommerfeld die „Theorie des Kreisels“, ein Standardwerk der theoretischen Mechanik. In dem Bestreben, das Ansehen der Mathematik zu erhöhen und mathematische Kenntnisse stärker publik zu machen, beteiligte er sich maßgeblich an der Herausgabe der „Mathematischen Annalen“ sowie an der Organisation und Abfassung der „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen“ und förderte die Gründung mathematischer Gesellschaften. Weiterhin bemühte er sich, unter den Mathematikern das Interesse für Anwendungen der Mathematik zu wecken und unter den Ingenieuren eine größere Akzeptanz der Mathematik zu erreichen. Sehr stark engagierte er sich auch für den mathematischen Unterricht in Deutschland und initiierte eine Umgestaltung desselben (Meraner Programm).

Aus seiner Mitarbeit an dem Werk „Kultur der Gegenwart“ ging eine zweibändige Monographie über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert hervor. Klein suchte bewußt den Kontakt zu führenden Vertretern aus Wirtschaft und Politik, um sich die nötige Unterstützung für seine Pläne zu sichern, insbesondere die finanzielle Absicherung der anwendungsbezogenen Forschung. Er initiierte die Gründung der Göttinger Vereinigung zur Förderung der angewandten Physik und Mathematik und erlangte durch enge Beziehungen zum preußischen Kultusministerium einen beträchtlichen Einfluß auf die Berufungspolitik an deutschen Hochschulen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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