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Lexikon der Mathematik: Kleinsche Flasche

geschlossene nichtorientierbare Fläche mit dem Geschlecht (Genus) g = 1.

Diese Fläche besitzt kein Inneres und kein Äußeres. Sie kann konstruiert werden, indem beide Paare gegenüberliegender Ecken eines Rechtecks zusammengeklebt werden, wobei ein Paar eine halbe Drehung erhält (siehe Abb. 1). Eine wirkliche Realisierung dieser Konstruktion ist jedoch nur im 4-dimensionalen Raum möglich, da sich die Fläche selbst durchdringen muß, ohne ein Loch zu besitzen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kleinsche Flasche
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Abb. 1: Zur Konstruktion der Kleinschen Flasche

Eine mögliche Abbildung einer Kleinschen Flasche in den dreidimensionalen Raum ist durch die Parameterdarstellung \begin{array}{l}x(u,v)=\left[a+\cos \frac{u}{2}\,\,\sin v-\sin \frac{u}{2}\,\,\sin (2v)\right]\,\cos\,u\\ y(u,v)=\left[a+\cos \frac{u}{2}\,\,\sin v-\sin \frac{u}{2}\,\,\sin (2v)\right]\,\sin\,u\\ z(u,v)=\,\,\sin \frac{u}{2}\,\,\sin v+\cos \frac{u}{2}\,\,\sin (2v)\end{array}

(mit u ∈ [0, 2π), v ∈ [0, 2π) und a ≥ 2) gegeben. Die dadurch realisierte Abbildung der Kleinschen Flasche in den ℝ3 zeigt Abb. 2 (wobei die Fläche mit der o.a. Parameterdarstellung normalerweise geschlossen ist, zur besseren Veranschaulichung wurde für die Abbildung v ∈ [−0, 25π, 1, 6π] gewählt). Eine derartige Kleinsche Flasche läßt sich durch die Drehung einer Acht-Kurve um eine Achse bei gleichzeitiger Drehung um ihren Mittelpunkt konstruieren.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Kleinsche Flasche
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Abb. 2: Visualisierung der Kleinschen Flasche

Eine weitere mögliche Darstellung der Kleinschen Flasche im ℝ3 ist durch die Parametergleichung \begin{array}{l}x(u,v)=\,\,\cos u\left[(\sqrt{2}+\cos v)\cos \frac{u}{2}+\sin v\cos v\,\sin \frac{u}{2}\right]\\ y(u,v)=\sin u\left[(\sqrt{2}+\cos v)\cos \frac{u}{2}+\sin v\cos v\,\sin \frac{u}{2}\right]\\ z(u,v)=\,-\left(\sqrt{2}+\cos v\right)\sin \frac{u}{2}+\cos \frac{u}{2}\,\sin v\,\cos v\end{array}

oder durch die implizite Gleichung \begin{eqnarray}\left({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+2y-1\right)\left[{\left({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2y-1\right)}^{2}-8{z}^{2}\right]+16xz\,\left({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2y-1\right)=0\end{eqnarray}

gegeben (siehe Abb. 3).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kleinsche Flasche
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Abb. 3: Visualisierung der Kleinschen Flasche

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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