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Lexikon der Mathematik: kleinstes gemeinsames Vielfaches

kgV, dasjenige positive gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen n1,…,nk ∈ ℤ \{0}, das jedes andere gemeinsame Vielfache dieser Zahlen teilt. Man benutzt die Bezeichnungen \begin{eqnarray}[{n}_{1},\ldots, {n}_{k}] & = & \text{kgV}({n}_{1},\ldots,{n}_{k})\\ & = & \text{lcm}({n}_{1},\ldots, {n}_{k});\end{eqnarray} die letztere findet sich in englischsprachigen Texten und steht für „lowest common multiple“.

Eine Formel für das kgV ergibt sich, analog zur Formel für den größten gemeinsamen Teiler, aus der kanonischen Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen \begin{eqnarray}{n}_{j}=\pm \displaystyle \prod _{p}{p}^{vp(nj)},\end{eqnarray}

mit Vielfachheiten νp(nj) ≥ 0. Dann gilt \begin{eqnarray}\text{kgV}({n}_{1},\ldots, {n}_{k})=\displaystyle \prod _{p}{p}^{\max \{{v}_{p}({n}_{1}),\ldots, {v}_{p}({n}_{k})\}}.\end{eqnarray}

Für zwei natürliche Zahlen n1, n2 gibt es eine Beziehung zwischen dem ggT und dem kgV: \begin{eqnarray}{n}_{1}{n}_{2}=\text{ggT}({n}_{1},{n}_{2})\cdot \text{kgV}({n}_{1},{n}_{2}).\end{eqnarray}

Ebenso wie der ggT läßt sich auch das kgV auf beliebige multiplikative Strukturen, z. B. Polynomringe oder, allgemeiner, Integritätsringe, übertragen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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