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Lexikon der Mathematik: Knopp-Funktion

die 1918 von Konrad Knopp in Anlehnung an die Weierstraß-Cosinusreihe untersuchte, zu a ≥ 1 und 0 < b < 1 durch \begin{eqnarray}{f}_{a,b}(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{b}^{k}\,\sin ({a}^{k}\pi x)\qquad(x\in {\mathbb{R}})\end{eqnarray}

definierte Funktion fa,b : ℝ → ℝ. Wie bei der Weierstraß-Funktion sieht man, daß fa,b stetig und im Fall ab < 1 sogar differenzierbar ist. Knopp zeigte, daß bei Wahl von a als gerade natürliche Zahl mit \(ab\gt1+\frac{3}{2}\pi \) die Funktion fa,b eine nirgends differenzierbare stetige Funktion ist.

Die Teilfunktionen bk sin(akπx) sind Sinusschwingungen mit für wachsendes k monoton gegen 0 fallender Amplitude und aufgrund ihrer schnell fallenden Wellenlänge zunehmender Steilheit. Die Näherungsfunktionen \begin{eqnarray}{f}_{a,b}^{n}(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{b}^{k}\,\sin ({a}^{k}\pi x)\end{eqnarray} werden daher mit wachsendem n immer „rauher“.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Knopp-Funktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Knopp-Funktion

Die Nichtdifferenzierbarkeit der Knopp-Funktion ist deutlich einfacher zu beweisen als diejenige der Weierstraß-Funktion, erfordert aber ebenfalls einige (wenn auch elementare) Überlegungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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