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Lexikon der Mathematik: Koebescher 1/4-Satz

lautet: Es sei f in der Klasse \({\mathcal{S}}\), d. h. f ist eine in macampEopf; = { z macampin; macampCopf; : |z| macamplt; 1 } schlichte Funktion mit f (0) = 0 und f macampprime;(0) = 1.

Dann enthmacampauml;lt das Bildgebiet f (macampEopf;) die offene Kreisscheibe B1/4(0) mit Mittelpunkt 0 und Radius \(\frac{1}{4}\).

Die Aussage dieses Satzes ist bestmmacampouml;glich, denn fmacampuuml;r die macampnearr; Koebe-Funktion k gilt \(k({\mathbb{E}})={\mathbb{C}}\text{}(-\infty,-\frac{1}{4}]\). Ist \(f \in {\mathcal{S}}\) und f (macampEopf;) ein konvexes Gebiet, so gilt sogar f (macampEopf;) macampsup; B1/2(0). Auch diese Aussage kann i. allg. nicht verbessert werden, denn fmacampuuml;r die Funktion macampell;(z) = z/(1 macampminus; z) gilt \(\ell({\mathbb{E}})=\{w\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Re}\ w\gt -\frac{1}{2}\}\).

Betrachtet man statt \({\mathcal{S}}\) die grmacampouml;macampszlig;ere Klasse \({\mathcal{T}}\) aller in macampEopf; macampnearr; holomorphen Funktionen mit f(0) = 0 und f macampprime;(0) = 1, so existiert kein macamprhov; macampgt; 0 derart, damacampszlig; f (macampEopf;) macampsup; Bmacamprhov;(0) fmacampuuml;r alle \(f \in {\mathcal{T}}\). Dies zeigen die Beispiele \({f}_{n}(z):=\frac{1}{n}({e}^{nz}-1)\), denn es gilt \(f_n \in {\mathcal{T}}\), aber \(-\frac{1}{n}\notin {f}_{n}({\mathbb{E}})\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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