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Lexikon der Mathematik: Körperhomomorphismus

eine Abbildung zwischen Körpern.

Es seien L1 und L2 zwei Körper. Eine Abbildung ϕ : L1L2 heißt Körperhomomorphismus, falls für alle a, bL1 gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\phi (a+b) & = & \phi (a)+\phi (b),\\ \phi (a\cdot b) & = & \phi (a)\cdot \phi (b),\\ \phi (1) & = & 1.\end{array}\end{eqnarray}

Ein Körperhomomorphismus ist immer injektiv, also ein Körpermonomorphismus, und bildet den Primkörper von L1 isomorph auf den Primkörper von L2 ab. Insbesondere existieren Homomorphismen nur zwischen Körpern über dem gleichen Primkörper, bzw. solchen mit gleicher Charakteristik. Der Körper L1 kann wegen der Injektivität als Unterkörper in L2 eingebettet werden. Ein Körperhomomorphismus heißt ein Körperisomorphismus, falls er auch surjektiv ist.

Von Bedeutung ist die Situation, in der L1 und L2 Erweiterungskörper eines gemeinsamen Grundkörpers 𝕂 sind, und nur Körperhomomorphismen φ : L1L2, die 𝕂 elementweise festlassen, betrachtet werden. Der Morphismus heißt dann Körperhomomorphismus über 𝕂. Ist αL1 ein algebraisches Element über 𝕂, d. h. Nullstelle eines Polynoms f(X) mit Koeffizienten aus 𝕂, so ist ϕ(α) ebenfalls Nullstelle des Polynoms f(X).

Ist L1 = L2 = L, so spricht man auch von Körperendomorphismen von L, bzw. falls ϕ surjektiv ist, von Körperautomorphismen. Ist L algebra-isch über 𝕂, dann ist jeder Körperendomorphismus über 𝕂 ein Körperautomorphismus.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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