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Lexikon der Mathematik: Kohomologie eines Komplexes

algebraische Konstruktion, die, angewendet auf die simplizialen zellulären und singulären Kettenkomplexe, die Kohomologiegruppen von Simplizialkomplexen, CWRäumen und topologischen Räumen liefert.

Ein (rein algebraischer) Zusammenhang zwischen Kohomologiegruppen und Homologiegruppen eines beliebigen Raumes wird durch das universelle Koeffiziententheorem beschrieben. Bei Mannigfaltigkeiten gibt es noch einen weiteren Zusammenhang zwischen Kohomologie und Homologie, der tiefliegende geometrisch-topologische Eigenschaften dieser Räume beschreibt, den Poincaréschen Dualitätssatz.

Wendet man auf einen Kettenkomplex C den Kofunktor Hom (− ; G) an (wobei G eine feste abelsche Gruppe ist), so erhält man folgende Sequenz von abelschen Gruppen und Homomorphismen, in der \({\lambda }_{q-1}={\tilde{\partial }}_{q}\) der zu q : CqCq−1 duale Homomorphismus ist: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\ldots \to Hom({C}_{q-1},G)\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{q-1}}Hom({C}_{q},G)\mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{q}}\\ \mathop{\to }\limits^{{\lambda }_{q}}Hom({C}_{q+1},G)\to \ldots \end{array}\end{eqnarray}

Wegen δqδq−1 = 0 hat diese Sequenz die definierende Eigenschaft eines Kettenkomplexes; allerdings wird der Index q jetzt um 1 erhöht statt erniedrigt.

(a) Die Gruppe Hom (Cq, G) heißt die q-te Kokettengruppe von C mit Koeffizienten in G: die Elemente φHom (Cq, G) heißen q-Koketten von C mit Koeffizienten in G. Der Wert von φ auf einer Kette cCq wird im folgenden mit ⟨φ, c⟩ = φ (c) ∈ G bezeichnet; er heißt das Skalarprodukt (auch Kroneckerprodukt) von φ und c.

(b) Der Homomorphismus \begin{eqnarray}\delta ={\delta }_{q}:Hom({C}_{q},G)\mathop{\to }\limits^{{\delta }_{q}}Hom({C}_{q+1},G)\end{eqnarray} heißt Korandoperator. Die (q + 1)-Kokette δ (φ) heißt Korand der q-Kokette φ. Wenn δ (φ) = 0 ist, d. h. wenn φ ∈ Ker (δq), heißt φ ein Kozykel. Wenn φ = δ (ψ) für eine (q − 1)-Kokette ψ, d. h. wenn φ ∈ Im δq− 1, heißt φ ein Korand. Die Faktorgruppe der Kozyklengruppe modulo der Korändergruppe, also die Gruppe \begin{eqnarray}{H}^{q}(C;G)=\text{Ker}({\delta }_{q})/\mathrm{Im}({\delta }_{q-1}),\end{eqnarray} heißt die q-te Kohomologiegruppe von C mit Koeffizienten in G, ihre Elemente sind die Kohomologieklassen \begin{eqnarray}\{\varphi \}={\{\varphi \}}_{C}=\varphi +\mathrm{Im}({\delta }_{q-1}),\end{eqnarray} wobei φ die q-Kozyklen durchläuft.

Im besonders wichtigen Fall G = ℤ schreibt man kurz Hq (C) = Hq (C; ℤ).

Mit der Neubezeichnung Dq = Hom (Cq, G), wird die obige Sequenz ein Kettenkomplex D, und es ist \begin{eqnarray}{H}^{q}(C;G)={H}_{-q}(D).\end{eqnarray}

Die Kohomologie ist also im wesentlichen die Komposition von Hom (− ; G) und der Homologie.

[1] Stöcker, R., Zieschang, H.: Algebraische Topologie. B. G. Teubner Stuttgart, 1988.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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