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Lexikon der Mathematik: Kohomologiering der projektiven Räume

spezieller Kohomologiering.

Für den komplex-projektiven Raum ℙn(ℂ) (bzw. den quaternionisch-projektiven Raum ℙn(ℍ)) ist der Kohomologiering mit Werten in ℤ gegeben als der abgeschnittene Polynomring \begin{eqnarray}{H}^{\ast }({{\mathbb{P}}}^{n}({\mathbb{C}}),{\mathbb{Z}})\cong {\mathbb{Z}}[u]/({u}^{n+1})\end{eqnarray} vom Gewicht 2, bzw. \begin{eqnarray}{H}^{\ast }({{\mathbb{P}}}^{n}({\mathbb{H}}),{\mathbb{Z}})\cong {\mathbb{Z}}[v]/({v}^{n+1})\end{eqnarray} vom Gewicht 4. Hierbei ist uH2(ℙn(ℂ), ℤ) ein erzeugendes Element der 2-Kohomologie, bzw. vH4(ℙn(ℍ), ℤ) ein erzeugendes Element der 4-Kohomologie.

Für den reell-projektiven Raum ℙn(ℝ) gilt das analoge Resultat für die Kohomologie mit Werten in ℤ2, der zyklischen Gruppe der Ordnung 2, \begin{eqnarray}{H}^{\ast }({{\mathbb{P}}}^{n}({\mathbb{H}}),{{\mathbb{Z}}}_{2})\cong {{\mathbb{Z}}}_{2}[w]/({w}^{n+1}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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