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Lexikon der Mathematik: Kohonen-Netz

ein Neuronales Netz, welches mit der Kohonen-Lernregel oder einer ihrer zahlreichen Varianten konfiguriert wird.

Die wesentliche Funktionalität, die bei diesem Netz-Typ (oder auch allgemeiner bei ART- oder LVQ-Netzen) durch formale Neuronen implementiert werden muß, ist die Abstandsmessung.

Erfolgt diese z. B. über die Betrachtung des Winkels der beteiligten Vektoren x, w ∈ ℝn, so läßt sich die Messung im normierten Fall ∥x∥ = 1 = ∥w∥ auf das Skalarprodukt zurückführen. Genauer gilt für beliebig vorgegebenes Θ ∈ ℝ mit der sigmoidalen Transferfunktion T : ℝ → {0, 1}, T(ξ) := 0 für ξ < 0 und T(ξ) := 1 für ξ ≥ 0 die Beziehung \begin{eqnarray}T(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w}_{i}{x}_{i}-\Theta )=\left\{\begin{array}{ll}0,& \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w}_{i}{x}_{i} \lt \Theta,\\ 1, & \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w}_{i}{x}_{i} \ge \Theta.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Hier liefert also ein formales Neuron mit sigmoidaler Transferfunktion T und Ridge-Typ-Aktivierung die gewünschte Information, ob ein gewisser Winkel überschritten wird oder nicht.

Erfolgt die Entfernungsmessung dagegen z. B. über die Betrachtung des euklidischen Abstands der beteiligten Vektoren x, w ∈ ℝn, so läßt sich die Messung für beliebig vorgegebenes positives ϱ ∈ ℝ mit der glockenförmigen Transferfunktion T : ℝ → {0, 1}, T(ξ) := 1 für |ξ| ≤ 1 und T(ξ) := 0 für |ξ| > 1 wie folgt implementieren: \begin{eqnarray}T(\varrho \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{w}_{i})}^{2})=\left\{\begin{array}{ll}0, & \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{w}_{i})}^{2} \gt \frac{1}{\varrho },\\ 1, & \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{({x}_{i}-{w}_{i})}^{2} \le \frac{1}{\varrho }.\end{array}\right.\end{eqnarray}>

Hier liefert also ein formales Neuron mit glockenförmiger Transferfunktion T und Radial-Typ-Aktivierung die gewünschte Information, ob ein gewisser euklidischer Abstand überschritten wird oder nicht.

Insgesamt ist damit gezeigt, daß die Kohonen-Lernregel im Kontext neuronaler Netze mit einem noch geeignet zu definierenden umgebenden Scheduling implementierbar ist.

Kohorte

in der (mathematischen) Biologie eine Gruppe von Individuen, die in einem gegebenen Zeitpunkt das gleiche Lebensalter haben.

koisotrope Untermannigfaltigkeit

Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit, für die der Schieforthogonalraum jedes ihrer Tangentialräume wieder Unterraum des betreffenden Tangentialraumes ist.

Das Bündel dieser Schieforthogonalräume ist integrabel und liefert eine lokale Blätterung der koisotropen Untermannigfaltigkeit in isotrope Untermannigfaltigkeiten.

Jede Hyperfläche einer symplektischen Mannigfaltigkeit ist koistrop. In Einzelfällen kann eine koisotrope Untermannigfaltigkeit zu einem lokal trivialen Faserbündel über der Mannigfaltigkeit der Blätter werden, die ihrerseits in kanonischer Weise eine symplektische Mannigfaltigkeit, der sog. reduzierte Phasenraum, wird.

Kokern

Begriff aus der Linearen Algebra.

Der Kokern einer linearen Abbildung f : V1V2 zwischen zwei Vektorräumen V1 und V2 ist der Quotientenvektorraum \begin{eqnarray}\text{Koker}f:={V}_{2}/\,\mathrm{Im}f,\end{eqnarray} wobei Im f das Bild von f bezeichnet.

Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, falls ihr Kokern nur aus dem Nullvektor besteht.

Ist U ein Unterraum des Vektorraumes V, und bezeichnet in der Sequenz \begin{eqnarray}U\mathop{\to }\limits^{e}V\mathop{\to }\limits^{q}V/U\end{eqnarray}e die Einbettungsabbildung uu und q die Quotientenabbildung vv + U, so gilt also: Koker(e) = V/U und Ker(q) = U (Kern einer linearen Abbildung.)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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