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Lexikon der Mathematik: Kolmogorow, Existenzsatz von

garantiert bei gegebenem Polnischen Raum E und beliebiger nicht-leerer Indexmenge I unter gewissen Verträglichkeitsvoraussetzungen an eine Familie \(({P}_{j}){}_{J\in \unicode{x0210C}(I)}\) von Wahrscheinlichkeitsmaßen, wobei \(\unicode{x0210C}(I)\) das System der endlichen, nicht leeren Teilmengen von I bezeichnet und PJ für jedes J ∋ \(\unicode{x0210C}(I)\) auf der σ -Algebra \({{\mathfrak{B}}}^{J}(E):{\otimes }_{t\in J}{\mathfrak{B}}(E)\) der Borelschen Mengen im Produktraum \(({E}^{J},{{\mathfrak{B}}}^{J}(E))\) definiert ist, die Existenz und Eindeutigkeit eines Wahrscheinlichkeitsmaßes PI auf der σ -Algebra \({{\mathfrak{B}}}^{I}(E):{\otimes }_{t\in I}{\mathfrak{B}}(E)\) der Borelschen Mengen im Produktraum \(({E}^{I},{{\mathfrak{B}}}^{I}(E))\) mit der Eigenschaft, daß für alle J ∈ \(\unicode{x0210C}(I)\) das Bildmaß πJ(PI) von PI unter der Projektion \begin{eqnarray}{\pi }_{J}:{E}^{I}\ni {({x}_{t})}_{t\in I}\to {({x}_{t})}_{t\in J}\in {E}^{J}\end{eqnarray} mit PJ identisch ist. Dabei bezeichnet 𝔅(E) die σ -Algebra der Borelschen Mengen von E. Die Verträglichkeitsvoraussetzungen an \(({P}_{j})_{J\in \unicode{x0210C}(I)}\) bestehen darin, daß die Familie projektiv ist, d. h. für alle H, J ∈ \(\unicode{x0210C}(I)\) mit JH gilt für das Bildmaß \({\pi }_{J}^{H}({P}_{H})\) von PH unter der Projektion \begin{eqnarray}{\pi }_{J}^{H}:{E}^{H}\ni {({x}_{t})}_{t\in H}\to {({x}_{t})}_{t\in J}\in {E}^{J}\end{eqnarray} die Beziehung \begin{eqnarray}{\pi }_{J}^{H}({P}_{H})={P}_{J}.\end{eqnarray}

Mit diesen Bezeichnungen und Definitionen lautet der Existenzsatz von Kolmogorow:

Ist E ein Polnischer Raum und I eine beliebige nicht-leere Indexmenge, so existiert zu jeder projektiven Familie \(({P}_{J})_{J\in \unicode{x0210C}(I)}\)von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf dem Produktraum \(({E}^{J},{{\mathfrak{B}}}^{J}(E))\)genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß PI auf \(({E}^{I},{{\mathfrak{B}}}^{I}(E))\)mit \begin{eqnarray}{\pi }_{J}(P_I)=P_J.\end{eqnarray}für alle \({J\in \unicode{x0210C}(I)}\).

Unter den Voraussetzungen des Satzes ergibt sich als wichtige Folgerung, daß zu jeder projektiven Familie \(({P}_{J})_{J\in \unicode{x0210C}(I)}\) von Wahrscheinlichkeitsmaßen ein stochastischer Prozeß mit Zustandsraum E und Parametermenge I derart existiert, daß \(({P}_{J})_{J\in \unicode{x0210C}(I)}\) die Familie seiner endlichdimensionalen Verteilungen ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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