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Lexikon der Mathematik: Kolmogorow-Prochorow, Satz von

formuliert eine hinreichende Bedingung für die stetige Modifizierbarkeit eines stochastischen Prozesses mit Werten in einem vollständigen metrischen Raum.

Es sei (S, d) ein vollständiger metrischer Raum, 𝔅(S) die σ-Algebra der Borelschen Mengen von S, und (Xt)t∈|0,∞)ein auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierter stochastischer Prozeß mit Werten in (S, 𝔅(S)). Existieren Konstanten a, b, c > 0 mit \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }d{({X}_{s}(\omega ),{X}_{t}(\omega ))}^{a}P(d\omega )\le c{|s-t|}^{1+b}\end{eqnarray}für alle s, t ∈ \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), so ist (Xt)t∈|0,∞)stetig modifizierbar.

Unter den Voraussetzungen des Satzes existiert also eine Modifikation (Yt)t∈|0,∞) von (Xt)t∈|0,∞) mit stetigen Pfaden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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