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Lexikon der Mathematik: Kolmogorow-Smirnow-Test

ein Hypothesentest (Testtheorie) zum Testen der Hypothese, daß die Verteilungsfunktionen zweier Zufallsgrößen übereinstimmen.

Seien X und Y zwei stetige unabhängige Zufallsgrößen mit den Verteilungsfunktionen FX bzw. FY. Die zu prüfende Hypothese lautet: \begin{eqnarray}H:{F}_{X}={F}_{Y}\,\text{gegen}\,K:{F}_{X}\ne {F}_{Y}.\end{eqnarray}

Seien \({F}_{X}^{(n)}\) und \({F}_{Y}^{(m)}\) die (zufälligen) empirischen Verteilungsfunktionen einer mathematischen Stichprobe X1, …, Xn vom Umfang n von X bzw. einer mathematischen Stichprobe Y1, …, Ym vom Umfang m von Y. Die für den Test verwendete Testgröße ist \begin{eqnarray}{T}_{mn}=\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\mathop{\sup }\limits_{x\in {{\mathbb{R}}}^{1}}|{F}_{X}^{(n)}(x)-{F}_{Y}^{(m)}(y)|.\end{eqnarray}

Unter der Annahme der Gültigkeit von H strebt die Verteilungsfunktion der Testgröße Tmn für \begin{eqnarray}k=\frac{mn}{m+n}\to \infty \end{eqnarray} gegen die Verteilungsfunktion K der Kolmogorow-Verteilung (empirische Verteilungsfunktion).

Der kritische Wert ε dieses Tests ist deshalb das (1−α)-Quantil K(1−α) der Kolmogorow-Verteilung. Ist bei einer konkreten Stichprobe Tmn > K(1 − α), so wird H abgelehnt, andernfalls angenommen. α ist das sog. Signifikanzniveau dieses Tests.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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