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Lexikon der Mathematik: Kombinatorik

Teilgebiet der Mathematik, in dem man die Eigenschaften und die Struktur der Abbildungen (oder Morphismen) einer endlichen Menge in eine Menge von Objekten, welche gewisse Bedingungen erfüllen, studiert. Die Kombinatorik beschäftigt sich vor allem mit dem Zählen und Ordnen der Morphismen.

Der Name für die finit-kombinatorische Denkweise stammt von Leibniz (1666) „Disertatio de arte combinatorica“, die eigentlichen Urheber der ars combinatorica sind jedoch Blaise Pascal und Pierre Fermat, die in diesem Zusammenhang auch die Wahrscheinlichkeitstheorie begründeten.

Anfang des 20. Jahrhunderts wurde der Gegenstand der Kombinatorik als die Lehre von den möglichen Anordnungen, Plazierungen oder Auswahlen einer Menge von Objekten unter Beachtung gewisser vorgegebener Regeln verstanden. Ausgehend von den einfachsten Anordnungen, wie Kombinationen, Variationen oder Selektionen, wurden Abzählprobleme diskutiert und Methoden für ihre Bewältigung, vornehmlich die von Laplace stammende erzeugenden Funktionen, entwickelt. Sind die Vorschriften, denen die Anordnungen unterworfen sind, einfach (z. B. die Anzahlbestimmung der Permutationen von n Elementen), so interessiert man sich für die Anzahl der möglichen Anordnungen; sind sie nicht leicht überschaubar (z. B. die Existenz einer projektiven Ebene mit gegebener Ordnung), so interessiert man sich für die Existenz und Struktur der fraglichen Konfiguration.

In den letzten 20 Jahren fanden vor allem zwei große Problemkreise steigende Bedeutung.

Zum einem wurde eine Vereinheitlichung der Begriffe und die Klarstellung der Zusammenhänge von Zählfunktionen, Inversionskalkül, erzeugende Funktionen, Gewichtsfunktionen und Äquivalenz von Abbildungen unter Gruppenwirkung erreicht. Dieser Teil der Kombinatorik heißt Zähltheorie und hat seinen Ursprung in der erwähnten Lehre von den Anordnungen der Objekte.

Die andere Entwicklung hat ihren Ursprung in der Geometrie. Ausgehend von der Axiomatisierung der linearen Abhängigkeit werden Strukturen mit einem Abschlußoperator, welcher den Steinitzschen Austauschsatz für Basen erfüllt, studiert. Es werden Eigenschaften, Invarianten, etc., welche nur von der Struktur des Verbandes der abgeschlossenen Menge abhängen, untersucht. Dieser Teil der Kombinatorik ist unter dem Namen Ordnungstheorie bekannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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