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Lexikon der Mathematik: Kommakategorie

spezielle Kategorie. Gegeben seien Kategorien \({\mathcal{B}}\), \({\mathcal{C}}\) und \({\mathcal{D}}\) und zwei Funktoren \(T:{\mathcal{C}}\rightarrow {\mathcal{B}}\) und \({\mathcal{S}}\) : \({\mathcal{D}}\) → \({\mathcal{B}}\). Die Kommakategorie (T, ↓, S) (auch (T, S) geschrieben) besitzt als Objekte die Tripel \begin{eqnarray}\begin{array}{l}(C,D,f),\,\text{wobei}\\ C\in Ob(\mathcal{C}),D\in Ob(\mathcal{D}),f\in Mo{r}_{\mathcal{B}}(T(C),S(D)).\end{array}\end{eqnarray}

Die Morphismen (C, D, f) → (C, D, f ) der Kategorie sind die Paare \begin{eqnarray}(g,h),g\in Mo{r}_{\mathcal{C}}(C,{C}^{^{\prime} }),h\in Mo{r}_{\mathcal{D}}(D,{D}^{^{\prime} })\end{eqnarray}

mit f T(g) = S(h) ○ f mit der Verknüpfung \begin{eqnarray}(g,h)\circ ({g}^{\prime},{h}^{\prime}):=(g\circ {g}^{\prime},h\circ {h}^{\prime})\end{eqnarray}

für diejenigen Elemente, für welche die rechte Seite definiert ist.

Der Begriff der Kommakategorie umfaßt einige kategorielle Konstruktionen. Als Beispiel sei hier die Kategorie von Objekten über einem festen Objekt aufgeführt. Man erhält sie, indem man als Kategorie \({\mathcal{D}}\) die Kategorie bestehend aus einem einzigen Objekt und einem einzigen Morphismus, und für \({\mathcal{C}}\) = \({\mathcal{B}}\) eine beliebige Kategorie nimmt. Der Funktor besteht dann lediglich aus der Auswahl eines Objektes B0Ob(\({\mathcal{B}}\)). Für T sei der identische Funktor gewählt. Die Objekte der Kommakategorie können in diesem Fall gegeben werden durch die Paare (C, f : CB0) mit COb(\({\mathcal{B}}\)) und die Morphismen (C, f) → (C, f ) durch einen Morphismus g : CC mit f g = f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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