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Lexikon der Mathematik: Kommerell-Verfahren

eine Methode zur numerischen Approximation von π.

Man startet dabei mit einem n-seitigen regulären Polygon der Länge 1 (d. h., jedes Teilstück hat die Länge \(\frac{1}{n}\)) und zeichnet den Umkreis Cn und den Inkreis In von Pn. Nun konstruiert iterativ die Polygone P2n, P4n, …so, daß – im Gegensatz etwa zum Archimedes-Algorithmus zur Berechnung von π – die Seitenlänge 1 konstant bleibt. Es ist klar, daß die Radien rn von Cn und ϱn von In gegen den Radius eines Kreises vom Umfang 1 konvergieren, d. h. \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{r}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{\varrho }_{n}=\frac{1}{2\pi },\end{eqnarray}

woraus man π bestimmen kann.

Man kann sich leicht überlegen, daß \begin{eqnarray}{r}_{n}=\frac{1}{2n\sin \frac{\pi }{n}}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{\varrho }_{n}={r}_{n}\cdot \cos \frac{\pi }{n}=\frac{1}{2n\tan \frac{\pi }{n}}\end{eqnarray}

für n ≥ 2 gelten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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