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Lexikon der Mathematik: Kommutativgesetz für Reihen

die dem allgemeinen Kommutativgesetz (für endliche Summen) entsprechende – nur unter Zusatzvoraussetzungen gültige – Aussage für Reihen: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{\infty }{a}_{v}=\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{a}_{\omega(j)}\end{eqnarray}

für eine beliebige bijektive Abbildung ω : ℕ → ℕ (Permutation von ℕ).

\(\displaystyle {\sum }_{j=1}^{\infty }{a}_{\omega(j)}\) heißt dann Umordnung der ursprünglichen Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\). Die Glieder der umgeordneten Reihe sind also genau die der ursprünglichen Reihe, nur eventuell in einer anderen Reihenfolge. Bei einer speziellen Umordnung, bei der nur höchstens endlich viele Indizes verändert werden, bleibt eine konvergente Reihe stets konvergent mit gleichem Reihenwert. Das folgende Beispiel zeigt, daß bei einer beliebigen Umordnung sich durchaus der Reihenwert ändern kann: Die alternierende harmonische Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\mp \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}

ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent mit Wert \(\sigma \gt \frac{1}{2}.\). Nun gilt \begin{eqnarray}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\pm \cdot \cdot \cdot =\sigma \end{eqnarray} und durch Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) : \begin{eqnarray}\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\mp \cdot \cdot \cdot =\frac{1}{2}\sigma.\end{eqnarray}

Durch Addition dieser beiden Reihen ergibt sich: \begin{eqnarray}1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\pm \cdot \cdot \cdot =\frac{3}{2}\sigma,\end{eqnarray}

wobei die linke Seite eine Umordnung der ursprünglichen Reihe ist.

Eine Reihe heißt genau dann unbedingt konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen mit gleichem Reihenwert konvergiert. Sind die aν reelle oder komplexe Zahlen, so sind genau die absolut konvergenten Reihen unbedingt konvergent. Eine erstaunliche Aussage über bedingt konvergente Reihen, also Reihen, die konvergent, aber nicht unbedingt konvergent sind, macht der Umordnungssatz von Riemann. Der Satz von Dvoretzky-Rogers zeigt, daß die o.a. Charakterisierung von unbedingter Konvergenz für endlich-dimensionale Räume charakteristisch ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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