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Lexikon der Mathematik: kompakt konvergente Folge

eine Folge (fn) von Funktionen fn : D → ℂ in einer offenen Menge D ⊂ ℂ derart, daß (fn) auf jeder kompakten Menge KD gleichmäßig konvergiert. Entsprechend heißt eine Reihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_{k}\) von Funktionen kompakt konvergent in D, falls die Folge (sn) der Partialsummen \({s}_{n}=\displaystyle {\sum }_{k=1}^{n}{f}_{k}\) kompakt konvergent in D ist.

Bei kompakt konvergenten Funktionenfolgen übertragen sich gewisse Eigenschaften der Funktionen fn auf die Grenzfunktion:

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und (fn) eine Funktionenfolge, die in D kompakt konvergent zur Grenzfunktion f ist. Dann gelten folgende Aussagen:

  1. Ist fn für jedes n ∈ ℕ stetig in D, so ist f stetig in D.
  2. Ist fn für jedes n ∈ ℕ stetig in D und γ ein rektifizierbarer Weg in D, so gilt für die Wegintegrale \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }{f}_{n}(z)dz=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(z)dz.\end{eqnarray}
  3. Ist fn für jedes n ∈ ℕ holomorph in D, so ist f holomorph in D. Außerdem ist die Folge \(({f}^\prime_{n})\)der Ableitungen in D kompakt konvergent gegen f.

Entsprechende Ergebnisse gelten auch für kompakt konvergente Funktionenreihen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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