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Lexikon der Mathematik: kompakte einfache Lie-Gruppe

manchmal auch klassische einfache Lie-Gruppe genannt, eine Lie-Gruppe mit der Eigenschaft, daß der unterliegende topologische Raum kompakt ist.

Diese Gruppen sind eng mit den komplexen einfachen Lie-Gruppen verknüpft. Die Bezeichnung für reelle und komplexe Lie-Gruppen ist in der Literatur nicht ganz einheitlich. Hier wird folgende Sprechweise angewendet: Eine Lie-Gruppe ohne weitere Bezeichnung ist grundsätzlich eine reelle Lie-Gruppe, anderenfalls muß explizit „komplex“ davorstehen.

Folgendes Beipiel soll den Unterschied erläutern: Die Gruppe SO(3) der räumlichen Drehungen und die Gruppe SO(2, 1) der Lorentz-Transformationen der (2 + 1)-dimensionalen Minkowskischen Raum-Zeit sind beide sowohl als reelle als auch als komplexe Lie-Gruppe interpretierbar. Jedoch gilt: Als komplexe Lie-Gruppen betrachtet sind sie vermittels einer imaginären Zeittransformation isomorph, als Lie-Gruppen sind sie nicht isomorph. SO(3) ist kompakt und einfach, SO(2, 1) ist nicht kompakt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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