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Lexikon der Mathematik: kompakter Operator

ein linearer Operator zwischen normierten ℝäumen, der beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet.

Äquivalent dazu ist, daß die Bildfolge einer beschränkten Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Der Begriff des kompakten Operators ist fundamental in der gesamten Funktionalanalysis und ihren Anwendungen.

Beispiele kompakter Operatoren sind viele Integraloperatoren, z. B. definiert \begin{eqnarray}(Tf)(s)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}k(s,t)f(t)d\mu (t)\end{eqnarray}

einen kompakten Operator auf C(M) oder Lp(µ), falls M ein mit einem endlichen Maß µ versehener kompakter Raum und k stetig ist; außerdem stößt man bei Einbettungsoperatoren, etwa von \({H}_{0}^{1}(\Omega )\) in L2(Ω) über beschränkten Gebieten Ω ⊂ ℝn, auf kompakte Operatoren.

Mit T ist auch der adjungierte Operator T kompakt (Satz von Schauder). Das Spektrum eines kompakten Operators T : XX ist endlich oder abzählbar, im letzteren Fall bildet es eine Nullfolge. Alle von 0 verschiedenen Spektralwerte sind Eigenwerte endlicher Vielfachheit. Der Operator Id −T ist ein Fredholm-Operator mit Index 0; also gilt die Fredholm-Alternative für Id −T.

Ist T : HK ein kompakter Operator zwischen Hilberträumen, so existieren Orthonormalsysteme (en) von H und (fn) von K sowie eine monoton fallende Nullfolge positiver Zahlen (sn), so daß T in der Form \begin{eqnarray}Tx=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{s}_{n}\langle x,{e}_{n}\rangle {f}_{n}\end{eqnarray}

dargestellt werden kann (Schmidt-Darstellung). Die sn heißen die Schmidt-Zahlen oder Singulärwerte (singuläre Werte) von T; die Zahlen \({s}_{n}^{2}\) sind die Eigenwerte von TT.

Ist H = K und T ein normaler Operator, so kann T gemäß \begin{eqnarray}Tx=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_{n}\langle x,{e}_{n}\rangle {e}_{n}\end{eqnarray}

für ein Orthonormalsystem (en) und eine Nullfolge (λn) dargestellt werden; die λn sind die Eigenwerte von T. Mit anderen Worten besitzt H eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T. Dies ist der Hilbertsche Spektralsatz für kompakte Operatoren auf Hilberträumen.

Zum Problem der Approximation kompakter Operatoren durch solche endlichen Ranges vergleiche man auch Approximationseigenschaft eines Banachraums sowie Hilbert-Schmidt-Operator.

In der nichtlinearen Funktionalanalysis heißt eine Abbildung f : XMY kompakt, wenn sie stetig ist und f(M) relativ kompakt ist. Eine zentrale Aussage über nichtlineare kompakte Operatoren ist der Schaudersche Fixpunktsatz.

[1] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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