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Lexikon der Mathematik: Kompaktheitssatz der Modelltheorie

eine der Versionen des Endlichkeitssatzes in der Logik.

Die verschiedenen Versionen des Endlichkeitssatzes heißen auch Kompaktheitssatz. Insbesondere wird die semantische Version b) aus meistens Kompaktheitssatz der Modelltheorie genannt.

Die nachfolgenden Ausführungen stellen einen engen Zusammenhang mit dem Kompaktheitssatz in der Topologie her. Eine Menge T von Aussagen oder Ausdrücken heißt widerspruchsfrei oder konsistent, wenn aus T kein Ausdruck der Gestalt φ ∧ ¬φ folgt. Eine widerspruchsfreie und deduktiv abgeschlossene Menge T (deduktiver Abschluß) von Aussagen aus L ist eine L-Theorie. T ist vollständig, wenn für jede Aussage φ aus L gilt: Entweder φT oder ¬φT. SL sei die Menge aller vollständigen L-Theorien und [φ] bezeichne die Menge {TSL : φt}. Wegen φψTφT und ψT gilt: [φ] ∩ [ψ] = [φψ] (algebraische Logik). Daher bildet {[φ] : φ Aussage in L} eine Basis für eine Topologie auf SL. Der entsprechende topologische Raum werde ebenfalls mit SL bezeichnet. Die offenen Mengen von SL sind genau die der Form ⋃φ∈Σ [φ], wobei Σ eine Menge von Aussagen ist. Die topologische Variante des Kompaktheitssatzes der Modelltheorie, die mit der obigen äquivalent ist, kann wie folgt formuliert werden:

SL ist kompakt, d. h., jede offene Überdeckung von SL besitzt eine endliche Teilüberdeckung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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