Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Kompaktifizierung von ℂ

spezielle Kompaktifizierung, definiert durch \(\hat{{\mathbb{C}}}:= {\mathbb{C}}\cup {\infty}\), d. h. die komplexe Ebene wird um einen Punkt, der mit dem Symbol ∞ bezeichnet wird, erweitert. Eine Menge D ⊂ \(\hat{{\mathbb{C}}}\) heißt offen, falls gilt:

  1. D ∩ ℂ ist eine offene Menge.
  2. Ist ∞∈ D, so existiert ein R > 0 derart, daß D ⊃ { z ∈ ℂ : |z| > R }.

Mit dieser Definition von offenen Mengen wird \(\hat{{\mathbb{C}}}\) zu einem kompakten topologischen Raum und heißt auch Einpunkt-Kompaktifizierung von ℂ (Alex-androw, Satz von).

Der Raum \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ist homöomorph zur Kugeloberfläche \begin{eqnarray}{S}^{2}=\{(w,t)\in {\mathbb{C}}\times {\mathbb{R}}\sim {{\mathbb{R}}}^{3}:{|w|}^{2}+{t}^{2}=1\}.\end{eqnarray}

Die stereographische Projektion liefert einen Homöomorphismus ϕ von S2 auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Daher nenntman \(\hat{{\mathbb{C}}}\) auch Riemannsche Zahlenkugel oder Riemannsche Zahlensphäre. Der Punkt ∞ heißt unendlich ferner Punkt. Er entspricht dem Nordpol von S2.

Die Topologie von \(\hat{{\mathbb{C}}}\) ist metrisierbar. Eine erzeugende Metrik ist z. B. die chordale Metrik χ, die wie folgt definiert ist: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\unicode{x003C7;}(z,w):=\frac{2|z-w|}{\sqrt{(1+{|z|}^{2})(1+{|w|}^{2})}},z,w,\in {\mathbb{C}},\\ \unicode{x003C7;}(z,\infty ):=\frac{2}{\sqrt{1+{|z|}^{2}}}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{w\to \infty }\unicode{x003C7;}(z,w),z\in {\mathbb{C}},\\ \unicode{x003C7;}(\infty,\infty ):=0.\end{array}\end{eqnarray}

Geometrisch ist χ(z, w) der dreidimensionale Abstand der Punkte ϕ−1(z), ϕ−1(w) ∈ S2.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos