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Lexikon der Mathematik: komplementierter Unterraum eines Banach-raums

ein abgeschlossener Unterraum U eines Banachraums X, der einen abgeschlossenen algebraischen Komplementärraum V besitzt.

Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt, daß U genau dann komplementiert ist, wenn ein stetiger linearer Projektor von X auf U existiert; X ist dann nicht nur als Vektorraum isomorph zu UV, sondern auch als Banachraum zum Produkt-Banachraum Up V.

Ein Beispiel eines komplementierten Teilraums von Lp(Ω, Σ, µ) ist der Unterraum aller bzgl. einer Unter-σ -Algebra Σ′ ⊂ Σ meßbaren Funktionen in Lp(µ); hingegen sind C[0, 1] ⊂ L[0, 1] und c0 nicht komplementiert.

In einem Hilbertraum ist jeder abgeschlossene Unterraum komplementiert; umgekehrt gilt der tiefliegende Satz von Lindenstrauss-Tzafriri, wonach ein Banachraum, in dem jeder abgeschlossene Unterraum komplementiert ist, zu einem Hilbertraum isomorph ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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