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Lexikon der Mathematik: Komplex abelscher Gruppen

eine Folge \begin{eqnarray}{C_ \bullet }\,: = \,\left( {{C_i},\,{d_i}\,:\,{C_i}\, \to \,{C_{i – 1}}} \right)i \in \mathbb{Z}\end{eqnarray} abelscher Gruppen Ci und Gruppenhomomorphismen di, für die didi+1 = 0 gilt.

Ein Komplex heißt nach unten (oben) beschränkt, falls Ci = 0 für i ≪ 0 (i ≫ 0). Ein Komplex heißt beschränkt, falls er sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Ein Komplex heißt positiv (negativ), falls Ci = 0 für i < 0 (i > 0).

Für jeden Komplex C kann für n ∈ ℤ die n-te Homologiegruppe \begin{eqnarray}{H_n}\left( {{C_ \bullet }} \right)\,: = \,{\text{Ker}}\,{d_n}\,/\,\operatorname{Im} \,{d_{n + 1}}\end{eqnarray} defininiert werden. In Anlehnung an die Anwendungen in der algebraischen Topologie (simplizialer oder singulärer Komplex) verwendet man auch oft statt Komplex die Bezeichnung Kettenkomplex (engl. chain complex). Die Elemente in Ci werden auch als Ketten (engl. chains), die Elemente in ker di als Zykel (engl. cycles) und die Elemente in im di+1 als Ränder (engl. boundaries) bezeichnet. Die Abbildung di heißt auch Randoperator bzw. Differential. Zwei Zykel, die dasselbe Element in Hn(C) repräsentieren, heißen homolog.

Ein Komplex heißt exakter Komplex oder auch exakte Sequenz, bzw. lange exakte Sequenz, falls Hn(C) = 0 für alle n. Ein positiver Komplex heißt azyklischer Komplex, falls Hn(C) = 0 für n ≥ 1, d. h. alle Homologiegruppen verschwinden bis eventuell auf H0(C).

Die eingeführten Begriffsbildungen sind sinnvoll für Komplexe mit Objekten und Morphismen aus einer beliebigen abelschen Kategorie. Von spezieller Bedeutung sind die Komplexe von Vektorräumen, Komplexe von Moduln über einem kommutativen Ring und Komplexe von Garben abelscher Gruppen. Den Homologiegruppen entsprechen dann jeweils Objekte in der zugrunde gelegten Kategorie. Es gibt auch den dualen Begriff des Kokomplexes. Dieser wird manchmal ebenfalls als Komplex bezeichnet.

Zusammen mit den Komplexmorphismen als Morphismen bilden die Komplexe eine abelsche Kategorie. Die Zuordnung der n-ten Homologiegruppe ist ein Funktor.

Ein wichtiges Beispiel für einen Komplex wird gegeben durch den simplizialen Kettenkomplex. Ausgehend von der Triangulierung durch Simplizes einer triangulierbaren topologischen Mannigfaltigkeit wird als Ci die freie abelsche Gruppe, erzeugt durch die orientierten i-Simplizes, gewählt. Der Randoperator di, angewandt auf einen i-Simplex, ergibt die orientierten Randkomponenten des Simplex.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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