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Lexikon der Mathematik: komplex differenzierbare Funktion

wie folgt definierte Funktion: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge. Eine Funktion f : D → ℂ heißt komplex differenzierbar an z0D, falls der Grenzwert \begin{eqnarray}f^\prime( {{z_0}})\,: = \,\mathop {\lim }\limits_{z \to {z_0}} \frac{{f( z)\, – \,f( {{z_0}} )}}{{z\, – \,{z_0}}}\, \in \,\mathbb{C}\end{eqnarray} existiert. Die Zahl f′(z0) heißt Ableitung von f an z0. Statt f′(z0) schreibt man auch \(z\, \mapsto \,\bar z\), z ↦Re z, z ↦Im z und z ↦ |z| in keinem Punkt z0 ∈ ℂ komplex differenzierbar sind.

Der folgende Satz liefert eine Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, f : D → ℂ eine Funktion und z0D. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  1. f ist komplex differenzierbar an z0.
  2. f ist reell differenzierbar an z0, und es gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen \begin{eqnarray}{u_x}({{z_0}})\, = \,{u_y}({{z_0}}),\,\,\,\,\,{u_y}({{z_0}})\, = \, – {v_x}({{z_0}})\,.\end{eqnarray}

Hieraus ergibt sich das folgende handliche hinreichende Kriterium für komplex differenzierbare Funktionen.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f = u + iv: D → ℂ eine Funktion derart, daß die Funktionen u, v stetig partiell differenzierbar in D sind, d. h. die partiellen Ableitungen ux,uy,vx,vy existieren in D und sind dort stetig. Weiter sei z0D, und es gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen \begin{eqnarray}{u_x}({{z_0}})\, = \,{u_y}({{z_0}}),\,\,\,\,\,{u_y}({{z_0}})\, = \, – {v_x}({{z_0}})\,.\end{eqnarray}

Dann ist f komplex differenzierbar an z0.

Zum Beispiel ist die Funktion f(z) = f(x + iy) = x3y2 + ix2y3 komplex differenzierbar an z0 ∈ ℂ genau dann, wenn Im z0 = 0 oder Re z0 = 0.

Wie für Funktionen einer reellen Veränderlichen gelten auch für komplexe Funktionen die bekannten Differentiationsregeln, d. h. Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel.

Insbesondere ist jedes Polynom p(z) = anzn+…+a1z+a0 mit Koeffizienten a0, a1, …, an ∈ ℂ in ganz ℂ komplex differenzierbar, und es gilt p′(z) = nanzn−1+…+2a2z+a1. Auch die Funktionen exp, cos und sin sind in ganz ℂ komplex differenzierbar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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