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Lexikon der Mathematik: Komplex von Morphismen

eine Folge \begin{eqnarray}{C_ \bullet }: = ({{C_i},\,{d_i}:{C_i} \to {C_{i – 1}}})_{i \in \mathbb{Z}}\end{eqnarray} von Objekten CiOb(\(\mathcal{C}\)) und Morphismen di einer abelschen Kategorie \(\mathcal{C}\), derart daß didi+1 = 0 (Nullmorphismus) ist.

Das n-te Homologieobjekt ist für alle n ∈ ℤ definiert als \begin{eqnarray}{H_n}({{C_ \bullet }})\,: = \,{\text{Ker}}\,{d_n}\,/\,\operatorname{Im} \,{d_{n + 1}}\end{eqnarray}

Ein Komplex heißt exakt (auch exakte Sequenz oder lange exakte Sequenz), falls alle Homologieobjekte das Nullobjekt sind.

Der duale Begriff ist der Kokomplex von Morphismen. Manchmal verwendet man Komplex sowohl für eine Folge mit „absteigenden“ Morphismen (Komplex im engeren Sinne) als auch mit „aufsteigenden“ Morphismen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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