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Lexikon der Mathematik: komplexe einfache Lie-Gruppe

besonders gut studierter Typus von Lie-Gruppen.

Die komplexen einfachen Lie-Gruppen sind seit langem vollständig bekannt. Sie werden deshalb auch klassisch genannt.

Sie werden nach den Serien A bis G geordnet, dabei sind die durch die natürliche Zahl n parametrisierten unendlichen Serien A bis D die folgenden: An ist die spezielle unitäre Gruppe SU(n+1), Bn ist die spezielle orthogonale Gruppe SO(2n+1), Cn ist die Spingruppe Spin(2n), und schließlich ist Dn die spezielle orthogonale Gruppe SO(2n). Die übrigen fünf Gruppen entfallen auf die drei verbleibenden Serien, die exzeptionelle Gruppen oder Ausnahmegruppen genannt werden.

Für n sind bei kleinen Werten n gewisse Einschränkungen zu beachten: Bei An ist nur n ≥ 1 zu behandeln, da bei n = 0 nur die einpunktige Gruppe SU(1) entstünde.

Bei Bn wird n ≥ 3, bei Cn wird n ≥ 2 und bei Dn wird n ≥ 4 benötigt. Dies sieht man auch am Coxeter-Diagramm (Dynkindiagramm): B2 = C2, und Dn = An für n < 4.

Außerdem gibt es noch Isomorphien, z. B. ist SO(4) das Quadrat von SU(2), also nicht mehr einfach.

Zur Klassifikation werden wesentlich die Coxeter-Diagramme (Dynkin-Diagramme) benutzt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel komplexe einfache Lie-Gruppe
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Coxeter-Diagramme der besprochenen Lie-Gruppen, die Zahl der Punkte eines Diagramms ist gleich dem Rank der entsprechenden Gruppe

Sie wurden in den 1950iger Jahren entwickelt. Der Rank r einer Lie-Gruppe ist gleich der Dimension der maximalen abelschen Lie-Untergruppe. Das englischsprachige rank wird heute oft nicht mehr mit „Rang“, sondern mit „Rank“ übersetzt, um Verwechslungen mit dem Rang einer Matrix zu vermeiden.

Zur maximalen abelschen Lie-Untergruppe werden dann solche Elemente der Gruppe hinzugefügt, daß die Gesamtdarstellung möglichst einfach wird.

Im Bild der Quantenmechanik entspricht jedes Element der Lie-Gruppe einer physikalisch meßbaren Größe, und zwei Elemente sind genau dann vertauschbar, wenn die entsprechenden physikalischen Größen gleichzeitig scharf meßbar sind. Im anderen Fall tritt die Heisenbergsche Unschärferelation in Kraft. Der Rank ist also in diesem Bild die Maximalzahl der gleichzeitig scharf meßbaren physikalischen Größen.

Jeder Lie-Gruppe ist eine Lie-Algebra eindeutig zugeordnet. Die maximale abelsche Lie-Unteralgebra werde durch die r linear unabhängigen Elemente Hi, i = 1, …r aufgespannt. Die übrige Lie-Algebra wird dann durch Eigenwertgleichungen der Form \begin{eqnarray}\left[ {{H_i},\,{E_\beta }} \right]\, = \,{\alpha _i}{E_\beta }\end{eqnarray} analysiert, dabei heißen die αi Wurzelvektoren. Die geometrischen Details dieser Wurzelvektoren werden dann durch offene bzw. geschlossene Punkte und 1-, 2- oder 3-zählige Kanten im Dynkindiagramm symbolisiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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