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Lexikon der Mathematik: komplexe Interpolationsmethode

Calderón, Methode von, eine Methode zur Interpolation linearer Operatoren im folgenden Sinne.

Sei (X0, X1) ein verträgliches Paar von komplexen Banachräumen (Interpolationstheorie auf Banachräumen), und sei S der Streifen {z : 0 ≤ Re z ≤ 1} in der komplexen Ebene. Ferner sei \(\mathcal{F}\) der Raum aller beschränkten stetigen Funktionen f : SX0 + X1, die auf int S analytisch sind, für die f(z) ∈ X0, falls Re z = 0, und f(z) ∈ X1, falls Re z = 1, und für die die Abbildungen tf(j + it) von ℝ nach (Xj, ∥ · ∥j) ebenfalls stetig und beschränkt sind (j = 0, 1); \(\mathcal{F}\) trage die Norm \begin{eqnarray}\left\| f \right\|\, = \,\mathop {\sup }\limits_t \{ {\left\| {f({it})} \right\|_0},\,{\left\| {f({1\, + \,it})} \right\|_1}\} \,.\end{eqnarray}

Man setzt dann zu 0 < ϑ < 1 \begin{eqnarray}{X_\vartheta }\,: = \,{\left[ {{X_0},\,{X_1}} \right]_\vartheta }\,: = \,\{ f(\vartheta )\,:\,f \in \,\mathcal{F}\} \end{eqnarray} und versieht diesen Raum mit der Norm \begin{eqnarray}{\left\| x \right\|_\vartheta }\, = \,\inf \{ \left\| f \right\|\,:\,f\, \in \,\mathcal{F}\,,\,f(\vartheta )\, = \,x\} \,;\end{eqnarray}

Xϑ ist ein Banachraum, der zum Quotientenraum \(\mathcal{F}\)/{ fF : f(ϑ) = 0} isometrisch isomorph ist.

Sei nun (Y0, Y1) ein weiteres verträgliches Paar von Banachräumen, und sei T : X0 + X1Y0 + Y1 eine lineare Abbildung, die X0 stetig in Y0 und X1 stetig in Y1 überführt, es ist also \begin{eqnarray}\begin{gathered} \left\| {T\,:\,{X_0}\, \to \,{Y_0}} \right\|\, = :\,{M_0}\,\lt \,\infty \,, \hfill \\ \left\| {T\,:\,{X_1}\, \to \,{Y_1}} \right\|\, = :\,{M_1}\,\lt \,\infty \,. \hfill \\ \end{gathered} \end{eqnarray}

Dann gilt auch T(Xϑ) ⊂ Yϑ für alle 0 < ϑ < 1 sowie \begin{eqnarray}\left\| {T\,:\,{X_\vartheta }\, \to \,{Y_\vartheta }} \right\|\, \leqslant \,M_0^{1 – \vartheta }\,M_1^\vartheta \,.\,\end{eqnarray}

Es ist also (Xϑ, Yϑ) ein exaktes Interpolationspaar im Sinn der Interpolationstheorie.

Ist X0 = Lp0 und X1 = Lp1, so stellt sich Xϑ = Lp für \begin{eqnarray}1/p\, = \,({1\, – \,\vartheta })\,/\,{p_0}\, + \,\vartheta /\,{p_1}\end{eqnarray} heraus; genauso hat man für die Interpolation der Schatten-von Neumann-Klassen [cp0, cp1]ϑ = cp mit p wie oben. Für die Sobolew-Räume erhält man im Fall m0m1, 1 < p0, p1 < ∞ Räume gebrochener Glattheitsordnung, nämlich \begin{eqnarray}\left[ {{W^{{m_0},{p_0}}}\,,\,{W^{{m_1}\,,{p_1}}}} \right]\vartheta \, = \,{W^{p,\,s}}\end{eqnarray}

für obiges p und s = (1 − ϑ)m0 + ϑm1.

Interpretiert man (1) im Kontext der Lp-Räume, erkennt man, daß die komplexe Interpolations-methode eine abstrakte Version des Interpolations-satzes von Riesz-Thorin liefert.

Eine wichtige Eigenschaft der komplexen Interpolationsmethode ist die Reiterationseigenschaft \begin{eqnarray}{\left[ {{X_{{\vartheta _0}}},{X_{{\vartheta _1}}}} \right]_\vartheta } = {X_{{\vartheta}^\prime}}\end{eqnarray}

für ϑ′ = (1 − ϑ)ϑ0 + ϑϑ1, falls X0X1 dicht in X0, X1 und Xϑ0Xϑ1 liegt.

[1] Bergh, J.; Löfström, J.: Interpolation Spaces. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1976.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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