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Lexikon der Mathematik: komplexe Intervallarithmetik

Operationen für komplexe Intervalle, dargestellt als Rechtecke, Kreise oder Sektoren.

Die komplexe Rechteckarithmetik betrachtet ein Intervall als ein achsenparalleles Rechteck, dargestellt durch je ein reelles Intervall für Real- und Imaginärteil: a = a1 + ia2. Entsprechend sind die arithmetischen Operationen definiert: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{\bf a}\pm \bf \text{b} & = & {\bf\text{a}}_{1}\pm {\bf\text{b}}_{1}+i({\bf\text{a}}_{2}\pm {\bf\text{b}}_{2}),\\ \bf\text{a}\cdot \bf\text{b} & = & {\bf\text{a}}_{1}\cdot {\bf\text{b}}_{1}-{\bf\text{a}}_{2}\cdot {\bf\text{b}}_{2}+i({\bf\text{a}}_{1}\cdot {\bf\text{b}}_{2}+{\bf\text{a}}_{2}\cdot {\bf\text{b}}_{1}),\\ {\bf\text{a}}/{\bf\text{b}} & = & \frac{{\bf\text{a}}_{1}\cdot {\bf\text{b}}_{1}-{\bf\text{a}}_{2}\cdot {\bf\text{b}}_{2}}{{{\bf\text{b}}_{1}}^{2}+{{\bf\text{b}}_{2}}^{2}}+i\frac{{\bf\text{a}}_{2}\cdot {\bf\text{b}}_{1}-{\bf\text{a}}_{1}\cdot {\bf\text{b}}_{2}}{{{\bf\text{b}}_{1}}^{2}+{{\bf\text{b}}_{2}}^{2}}.\end{array}\end{eqnarray}

Es gelten folgende Aussagen:

Addition und Subtraktion sind abgeschlossen, d. h. die entsprechende Teilmenge \begin{eqnarray}{\bf\text{a}}\pm {\bf\text{b}}=\{a\pm b|a\in {\bf\text{a}},b\in {\bf\text{b}}\}\end{eqnarray}

ist ein Rechteckintervall.

Die Multiplikation liefert die Intervall-Hülle, die hier eine echte Obermenge bedeutet, während für die Division in der Regel eine Überschätzung der Intervall-Hülle in Kauf genommen wird, obwohl ein, wenn auch aufwendiger, optimaler Algorithmus existiert.

Die komplexe Rechteckaddition ist kommutativ und assoziativ, die Multiplikation ist kommutativ. Inverse existieren für echte Intervalle nicht.

Die komplexe Kreisarithmetik betrachtet ein Intervall als einen Kreis, dargestellt durch Mittelpunkt und Radius, a = ⟨a, ra⟩. Die arithmetischen Operationen für Kreise sind wie folgt definiert: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\bf\text{a}\pm \text{b} & = & \langle a\pm b,{r}_{a}+{r}_{b}\rangle,\\ \bf\text{a}\cdot \text{b} & = & \langle ab,|a|{r}_{b}+|b|{r}_{a}+{r}_{a}{r}_{b}\rangle,\\ 1/{\bf\text{b}} & = & \langle \frac{\bar{b}}{b\bar{b}-{r}_{b}^{2}},\frac{{r}_{b}}{b\bar{b}-{r}_{b}^{2}}\rangle,0\notin {\bf\text{b}}\\ \bf\text{a}/\text{b} & = & {\bf\text{a}}\cdot 1/{\bf\text{b}},0\notin {\bf\text{b}}.\end{array}\end{eqnarray}

\(\bar{b}\) bezeichnet dabei die konjugiert komplexe Zahl und |b| den Betrag. Es gelten folgende Aussagen:

Addition und Subtraktion sind abgeschlossen.

Multiplikation und Division überschätzen auch die Intervall-Hülle.

Die komplexe Kreisaddition und -multiplikation sind kommutativ und assoziativ. Inverse existieren für echte Intervalle nicht.

Die komplexe Sektorarithmetik (Kreisringsektorarithmetik) betrachtet ein Intervall als einen Kreisringsektor, dargestellt durch je ein reelles Intervall für Radius (Betrag) und Argument einer komplexen Zahl: a = [aϱ, aφ]. Multiplikation und Division sind durch \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\bf\text{a}\cdot \text{b} & = & [{\bf\text{a}}_{\varrho }\cdot {\bf\text{b}}_{\varrho },{\bf\text{a}}_{\phi }+{\bf\text{b}}_{\phi }]\\ \bf\text{a}/\text{b} & = & [{\bf\text{a}}_{\varrho }/{\bf\text{b}}_{\varrho },{\bf\text{a}}_{\phi }-{\bf\text{b}}_{\phi }]\end{array}\end{eqnarray}

definiert und stellen die entsprechende Wertemenge dar. Addition und Subtraktion werden durch Einschließung der Sektoren in Rechtecke und Rückeinschließung des Ergebnisrechtecks berechnet und überschätzen so im allgemeinen die Intervall-Hülle.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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