eine lineare bijektive Abbildung J : V → V eines reellen Vektorraumes V in sich, die die Gleichung J ◦ J = − id_V erfüllt, wobei id_V die identische Abbildung von V ist.

Ist die Dimension d von V endlich, und existiert auf V eine komplexe Struktur, so ist d eine gerade Zahl, etwa d = 2n.

Durch die Wahl einer komplexen Struktur ist auf V die Struktur eines komplexen Vektorraumes definiert, bei der die Multiplikation von Vektoren v ∈ V mit komplexen Zahlen z = a + bi ∈ ℂ über \begin{eqnarray}zv=av+bJ(v)\end{eqnarray}

gegeben ist. Ist umgekehrt V ein Vektorraum über dem Körper ℂ der komplexen Zahlen, so ist die Abbildung J : v ∈ V → iv ∈ V eine komplexe Struktur des V unterliegenden reellen Vektorraumes V^ℝ.

Mit einer beliebigen bijektiven linearen Abbildung L : V → V kann man aus einer komplexen Struktur J durch Konjugation mit L eine neue komplexe Struktur J^L = L ◦ J ◦ L⁻¹ erzeugen. Weiterhin gilt der Satz:

Für je zwei komplexe Strukturen J₁und J auf einem reellen Vektorraum V existiert eine lineare Abbildung L : V → V mit J₁ = J^L.

Eine komplexe Struktur auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M gerader Dimension 2n ist ein komplexer Atlas mit holomorphen Kartenübergangsfunktionen, dessen Karten mit der differenzierbaren Struktur von M verträglich sind. Das bedeutet, daß eine Überdeckung von M durch komplexe Karten gegeben ist. Dies sind Paare (U, φ), bestehend aus offenen Teilmengen U ⊂ M und bijektiven Abbildungen φ von U auf offene Mengen φ(U) ⊂ ℂⁿ. Die Überdeckungseigenschaft besteht in der Forderung, daß jeder Punkt von M in mindestens einem U enthalten ist. Die Verträglichkeit besteht darin, daß φ als Abbildung von U in ℝ²n in bezug auf die differenzierbare Struktur von M differenzierbar ist. Schließlich ist die Kartenübergangsfunktion zweier komplexer Karten (U₁, φ₁) und (U₂, φ₂) mit U₁ ∩ U₂ ≠ ∅ die Abbildung \begin{eqnarray}{\varphi }_{1}\circ {\varphi }_{2}^{-1}:{\varphi }_{2}({U}_{1}\cap {U}_{2})\subset {{\mathbb{C}}}^{n}\to {\varphi }_{1}({U}_{1}\cap {U}_{2})\subset {{\mathbb{C}}}^{n},\end{eqnarray}

von der man fordert, daß sie holomorph ist.

Eine mit einer komplexen Struktur versehene Mannigfaltigkeit M heißt komplex. Da die Tangentialräume einer komplexen Mannigfaltigkeit komplexe Vektorräume sind, besitzt M eine fast komplexe Struktur J, die als lineare Abbildung der Tangentialräume durch die Multiplikation mit der imaginären Einheit i gegeben ist (komplexe Mannigfaltigkeit).